Grenzrate der Substitution

05.01.2010, 20:56	shok	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzrate der Substitution Hallo! Ist zwar Wirtschaftsmathe aber ich hab ein allgemeines mathematischer Problem. So die Grenzrate der Substitution, da gibt es 2 Formeln für: 1. $\begin{eqnarray} GRS= -\frac{\frac{\delta u}{\delta x1} }{\frac{\delta u}{\delta x2} } \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} GRS= \frac{\delta x2}{\delta x1} \end{eqnarray}$ Das diese beiden stimmen zeigt das folgende Beispiel: u(x1,x2)=3x1+x2 mit der 1.Formel: $\begin{eqnarray} GRS=-\frac{3}{1} \end{eqnarray}$ mit der 2.Formel: x2=u-3x1 nach x1 abgeleitet ebenfalls -3 aber warum stimmt das? die 1.Formel $\begin{eqnarray} GRS= -\frac{\frac{\delta u}{\delta x1} }{\frac{\delta u}{\delta x2} } \end{eqnarray}$ umgestellt ergibt: $\begin{eqnarray} GRS= -\frac{\delta u}{\delta x1}\frac{\delta x2}{\delta u} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} GRS= -\frac{\delta x2}{\delta x1} \end{eqnarray*}$ was in unserem Fall zum Ergebnis von 3 führen würde und nicht -3 danke für die hilfe
06.01.2010, 13:13	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzrate der Substitution Betrachte eine von den Variablen $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ abhängende Funktion $\begin{eqnarray} u[x_1,x_2(x_1)] \end{eqnarray}$ , wobei die Variable $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ ihrerseits von der Variablen $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ abhängig ist, also $\begin{eqnarray} x_2=x_2(x_1) \end{eqnarray}$ . Wir fordern, dass diese Funktion für alle Variablen $\begin{eqnarray} x_1,x_2 \end{eqnarray}$ eine Konstante C sein soll, also $\begin{eqnarray} C=u[x_1,x_2(x_1)] \end{eqnarray}$ Beim Ableiten nach $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ verschwindet die linke Seite. Verwendet man beim Ableiten der rechten Seite die Kettenregel, ergibt sich formal $\begin{eqnarray} 0=\frac{\partial u}{\partial x_1}+\frac{\partial u}{\partial x_2} \frac{d x_2}{dx_1} \end{eqnarray}$ Wenn man dies umstellt und die Größe $\begin{eqnarray} G=\frac{dx_2}{dx_1} \end{eqnarray}$ als "Grenzrate" bezeichnet (=deine 2.Formel), kommt man auf deine 1.Formel $\begin{eqnarray} G=-\frac{\frac{\partial u}{\partial x_2}}{\frac{\partial u}{\partial x_1}} \end{eqnarray}$ Ich wiederhole: Diese Formel gilt nur dann, wenn bei deinem wirtschaftswissenschaftlichen Sachverhalt die Funktion $\begin{eqnarray} C=u[x_1,x_2(x_1)] \end{eqnarray}$ eine Konstante darstellt. Prüfe das mal nach! Viel Erfolg!

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