Körperisomorphismus - Matrizen -> IC

05.01.2010, 21:19	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Körperisomorphismus - Matrizen -> IC Aufgabenstellung: siehe Anhang Also ich hab nur ein paar allgemeine Frage, nichts richtig konkretes zur Aufgabe selbst: Erstmal: Im Beutelspacher steht, dass man jede lineare Abbildung als Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ darstellen kann, so dass $\begin{eqnarray} f(x) = A \cdot x \end{eqnarray}$ ist. Wie kann ich denn eine lineare Abbildung zwischen einer Menge von Matrizen und $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ als Matrixmultiplikation darstellen? Also wenn ich in meiner Aufgabe von links mit ner Matrix multipliziere, hab ich ja immer zwei Spalten im Ergebnis - und es ist leider nichtmal so, dass in einer Spalte der Real- und in der anderen der Imaginärteil ist. Oder geht das gar nicht, d.h. kann man ohnehin keine lineare Abbildung zwischen $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ definieren? Oder soll ich die 2x2 Matrix einfach als Spaltenvektor mit vier Elementen auffassen? Vielleicht ist die Matrixüberlegung komplett überflüssig bei der Aufgabe, aber mir sind halt direkt beim Ansatz der Aufgabe die Fragen gekommen... Danke schonmal!
05.01.2010, 21:26	kolto	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mir mal einen ausgedacht $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \\ \end{pmatrix} ->a+bi \end{eqnarray}$ hab ma kurz gekuckt würd sagen is ein iso
05.01.2010, 21:32	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
jo das hab ich natürlich auch direkt ausprobiert. ich habs noch nich durchgetestet, weil mir zunächst oben aufgeführte fragen aufkamen ich hatte es nur kurz in mathematica eingetippt und es sah auf den ersten blick so aus, als gelte die bedingung $\begin{eqnarray} f(m_1 \cdot m_2) = f(m_1) \cdot f(m_2) \end{eqnarray}$ nicht. aber wie gesagt, ich hatte es nur eine minute probiert, ich guck nochmal rein. die frage zur matrixschreibweise für ne abbildung von 2x2-matrizen nach $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ würd mich aber trotzdem noch interessieren.
05.01.2010, 22:42	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
jojo, ich denke diese abbildung erfüllt die voraussetzungen.
05.01.2010, 23:21	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \\ \end{pmatrix} ->a+bi \end{eqnarray}$ ... kann in der Gauss-Ebene geometrisch plausibel gemacht werden: Die Punktdarstellung (a,b) von a+bi ist ja schon bei der Addition einer vektoriellen Deutung unterlegen: Die ersten Zeilen der Matrizen benehmen sich beim Addieren wie Vektoren und können so gedeutet werden. Noch überzeugender ist die Multiplikation: Diese speziellen 2x2-Matrizen beschreiben (als lineare reguläre Abbildung) Drehstreckungen der Ebene und veranschaulichen die Multiplikation optimal. (Ausnahme ist die 0, wie immer.) Der \|R-Vektorraum der so gebauten 2x2-Matrizen ist 2-dimensional wie die Gauss-Ebene.

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