Ungleichungen beweisen

05.01.2010, 22:38

bebop

Ungleichungen beweisen

Hallo,
ich habe Schwierigkeiten die Ungleichungen

$\begin{eqnarray*} x^{n} + 1/x^{n} \geq x+ 1/x\geq 2 \end{eqnarray*}$ mitx>0 zu beweisen.

Ich habe es bereits mit Induktion versucht, aber nur für x^{n} \geq x, jetzt weiß ich nicht, wie ich den rest noch beweisen soll, oder reicht das schon als beweis für die ersten beiden Ungleichungen?
Lg

05.01.2010, 22:51

Airblader

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Um

$\begin{eqnarray*} x + \frac{1}{x} \geq 2 \end{eqnarray*}$

zu zeigen multipliziere einfach mit x durch (ist ja n.V. größer Null). Hantiere dann mit der quadr. (Un-)gleichung und überlege dir, was das bedeutet.

Für die erste Ungleichung

$\begin{eqnarray*} x^n + \frac{1}{x^n} \geq x + \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

würde ich spontan überlegen, ob der binomische Lehrsatz helfen kann. Möglicherweise klappt aber auch Induktion über n.

Edit:
Natürlich nur, wenn $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Magst du zur Herkunft von n noch etwas sagen?

air

05.01.2010, 23:19

tmo

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Es ist $\begin{eqnarray*} x^n-2+\frac{1}{x^n} = \left( \sqrt{x^n} - \sqrt{\frac{1}{x^n}} \right)^2 \geq \left( \sqrt{x} - \sqrt{\frac{1}{x}} \right)^2 = x-2+\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ .

Das Ungleichheitszeichen in der Mitte sieht man schnell ein, wenn man sich überlegt, dass dies äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} \left| \sqrt{x^n} - \sqrt{\frac{1}{x^n}} \right| \geq \left| \sqrt{x} - \sqrt{\frac{1}{x}} \right| \end{eqnarray*}$

ist. Und dass dieser Abstand durch potenzieren von x größer wird, ist klar.

Denn x wird durch potenzieren größer und 1/x wird kleiner (oder halt andersrum, wenn x < 1 gilt).

Die Aussage gilt also für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

06.01.2010, 01:00

wisili

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Diskutiere die Funktion y = x + 1/x (1. Ableitung negativ für 0<x<1 und positiv für x > 1, Minimum bei (1,2))
So beweist man sogar mehr:
z+1/z > x+1/x >= 2 für 0 < z < x <= 1, aber auch für 1 <= x < z.

06.01.2010, 11:30

tmo

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Zitat:

Original von wisili
So beweist man sogar mehr:
z+1/z > x+1/x >= 2 für 0 < z < x <= 1, aber auch für 1 <= x < z.

Warum ist das mehr, als die Aussage

$\begin{eqnarray*} x^n+\frac{1}{x^n} \geq x+\frac{1}{x}~~ \forall n \in \mathbb R, n \geq 1 \end{eqnarray*}$

?

Es steht nur anders da Augenzwinkern

Manchmal bedarf es gar keiner Differentialrechnung um Funktionen zu diskutieren.

06.01.2010, 11:35

wisili

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Ob Differentialrechnung bekannt ist, weiss man tatsächlich nicht.
Dass es aber oberhalb x>1 mehr Zahlen gibt als Potenzen x^n,
dürfte klar sein ...

06.01.2010, 11:47

tmo

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Zitat:

Original von wisili
Dass es aber oberhalb x>1 mehr Zahlen gibt als Potenzen x^n,
dürfte klar sein ...

Darüber würde ich nochmal nachdenken. Also ich denke schon, dass ich dir zu jedem Paar $\begin{eqnarray*} (x,z) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1 < x < z \end{eqnarray*}$ eine Zahl $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb R, n \geq 1 \end{eqnarray*}$ angeben, sodass $\begin{eqnarray*} z=x^n \end{eqnarray*}$ gilt.

06.01.2010, 11:54

wisili

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Ja, schieben wir den Fehler auf die ungenaue Aufgabenstellung: Dort fehlt der Bereich von n.
Deshalb nahm ich natürliche Zahlen an. Airblader tut das fragend auch in seinem Beitrag.
Ich sehe erst jetzt, dass tmo schon vor mir bemerkt hat, dass man n auf reelle >1 ausweiten kann
und nimmt damit die von mir behauptete Verallgemeinerung vorweg. Sorry!
(An den Aufgabensteller: n ohne Bereichsangabe als reelle Variable einzusetzen wirkt dilettantisch.)

06.01.2010, 12:37

Mystic

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RE: Ungleichungen beweisen
Was die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} x+\frac 1x \ge 2 \quad \forall x>0 \end{eqnarray*}$

betrifft, scheint mir dies doch am einfachsten aus der Darstellung

$\begin{eqnarray*} x+\frac 1x =2 +\frac {(x-1)^2}x \end{eqnarray*}$

zu folgen...

06.01.2010, 12:42

wisili

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RE: Ungleichungen beweisen
Dieser Teil der Behauptung ist allerdings mit x=1 im anderen als Spezialfall mitenthalten.

07.01.2010, 17:10

Mystic

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RE: Ungleichungen beweisen
@wisili

Du meintest offensichtlich den Fall n=1 statt x=1 und es ist hinsichtlich der zweiten Ungleichung auch nicht wirklich ein "Spezialfall", da ich ja in meinem Schluß oben überall ungestraft x durch $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ ersetzen kann...

Nebenbei bemerkt muss muss ich auch den Threadersteller gegen wiederholte Angriffe insofern in Schutz nehmen, als er offensichtlich unter n sehr wohl eine natürliche Zahl verstanden hatte, indem er nämlich ausdrücklich davon sprach, dass er schon einen "Induktionsbeweis" versucht hatte, allerdings ohne Erfolg...

07.01.2010, 17:23

wisili

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Zitat:

Original von wisili
z+1/z > x+1/x >= 2 für 0 < z < x <= 1, aber auch für 1 <= x < z.

Ich habe schon x=1 gemeint:

Mit z+1/z > x+1/x für 0 < z < x <= 1, aber auch für 1 <= x < z

ist auch z+1/z >= 2 für 0 < z <= 1, aber auch für 1 <= z gültig (x + 1/x ist 2, wenn x=1)

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