Mittelwertsatz, Problem mit Ungleichung zeigen

05.01.2010, 23:17

Exkalibur

Mittelwertsatz, Problem mit Ungleichung zeigen

Hallo, habe leider per SuFu nichts entscheidendes gefunden..

Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} > \sqrt{66} - 8 > \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ gilt, OHNE $\begin{eqnarray*} \sqrt{66} \end{eqnarray*}$ auf zwei Stellen zu berechnen.
als Hinweis ist gegeben, dass ich $\begin{eqnarray*} \sqrt{} \end{eqnarray*}$ :[64,66]->R betrachten soll

also ich hab schon geschafft zu zeigen dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} > \sqrt{66} - 8 \end{eqnarray*}$ ist, aber nicht die zweite ungleichung.
Gemacht hab ichs mit dem mittelwertsatz und zwar, wenn es ein M € R gibt, sodass f'(x)
$\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ M ist (f ist natürlich auf dem Intervall [a,b] differenzierbar), gilt: $\begin{eqnarray*} f(b) \geq f(a) + M(b-a) \end{eqnarray*}$ .

Wäre für jede Hilfe dankbar =)

05.01.2010, 23:49

Eierkopf

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RE: Mittelwertsatz, Problem mit Ungleichung zeigen
Zweite Ungleichung müsste doch mit Monotonie zu machen sein.

05.01.2010, 23:50

corvus

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RE: Mittelwertsatz, Problem mit Ungleichung zeigen
>

Zitat:

Ich soll zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} > \sqrt{66} - 8 > \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

................................................... 1/9 > 1/8 ? .............. geschockt

also, mir scheint, du hast die Richtung der Ungleichungen verkehrt notiert..

es solle wohl so heissen:
es gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} < \sqrt{66} - 8 < \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

smile

oder? ... und das kannst du doch ganz einfach ohne Mittelwertsatz zeigen..

versuchs nochmal..

05.01.2010, 23:56

Eierkopf

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RE: Mittelwertsatz, Problem mit Ungleichung zeigen
@corvus

Wollte ihn noch ein wenig braten lassen, aber völlig unfair!!!!!!!!!!!
danke

06.01.2010, 07:13

Exkalibur

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ja natürlich muessen die ungleichungszeichen andersrum, mein fehler ;D

komme aber trotzdem nicht weiter

06.01.2010, 08:49

klarsoweit

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RE: Mittelwertsatz, Problem mit Ungleichung zeigen

Zitat:

Original von Exkalibur
Gemacht hab ichs mit dem mittelwertsatz und zwar, wenn es ein M € R gibt, sodass f'(x)
$\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ M ist (f ist natürlich auf dem Intervall [a,b] differenzierbar), gilt: $\begin{eqnarray*} f(b) \geq f(a) + M(b-a) \end{eqnarray*}$ .

Es fängt schon damit an, daß obiges falsch ist. Richtig ist:

Wenn $\begin{eqnarray*} f'(x) \leq M \end{eqnarray*}$ ist auf [a; b], dann ist $\begin{eqnarray*} f(b) \leq f(a) + M \cdot (b-a) \end{eqnarray*}$ .

Oder noch besser: $\begin{eqnarray*} f(b) - f(a) \leq M \cdot (b-a) \end{eqnarray*}$

Jetzt nimm mal $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt x \end{eqnarray*}$ , a=64 und b=66. Augenzwinkern

06.01.2010, 10:36

Exkalibur

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ja stimmt hab mich verschrieben, ich meinte natürlich f'(x) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ M dann gilt meine Gleichung, aber dennoch ist es komisch, denn :

wenn f'(x) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ M ist, so gilt zwar deine Gleichung, die du geschrieben hast, M muss also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{16} \end{eqnarray*}$ sein damit die zu beweisene Ungleichung gilt, dazu muss also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{16} \geq \end{eqnarray*}$ f'(x) sein mit x Element [64,66], aber 1/16 ist nicht für jedes x in diesem Intervall größer denn mit x=64 gilt ja f'(64)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{16} \end{eqnarray*}$
Somit gilt also nur $\begin{eqnarray*} \sqrt{66}-8 \leq \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{66}-8 < \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

wo ist mein denkfehler ? ;D

06.01.2010, 10:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Exkalibur
ich meinte natürlich f'(x) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ M dann gilt meine Gleichung

Nun ja, es ist wohl eher eine Ungleichung. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Exkalibur
Somit gilt also nur $\begin{eqnarray*} \sqrt{66}-8 \leq \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{66}-8 < \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

Daß die Gleichheit nicht gilt, läßt sich leicht nachrechnen.

06.01.2010, 14:15

Exkalibur

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jap, hab die rechte seite der UNgleichung ;D so abgeschätzt das passt....links mit mittelwertsatz also ok

danke euch =)

06.01.2010, 15:46

corvus

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zeige, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} > \sqrt{66} - 8 > \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$

wieso sollte da eigentlich mit aller Gewalt der Mittelwertsatz bemüht werden?

warum denn nicht einfach so:
(ohne sqrt(66) auf irgendwelche Stellen berechnen zu müssen .. )

es ist

$\begin{eqnarray*} ( \frac{1}{8} + 8 )^{2} = ( \frac{65}{8} )^{2} = 66,015625 > 66 \end{eqnarray*}$

also ..

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} + 8 > \sqrt{66} \end{eqnarray*}$

usw..

06.01.2010, 16:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von corvus
wieso sollte da eigentlich mit aller Gewalt der Mittelwertsatz bemüht werden?

Könnte durchaus sein, daß damit mal die Anwendung des Mittelwertsatzes geübt werden sollte. Augenzwinkern

06.01.2010, 17:04

corvus

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Zitat:

Original von klarsoweit

Könnte durchaus sein, daß damit mal
die Anwendung des Mittelwertsatzes geübt werden sollte. Augenzwinkern

und auf diese Idee bin ich sogar auch schon ganz alleine gekommen..

mit meiner Bemerkung wollte ich nur sanft darauf hinweisen, dass man zu
zu diesem Zweck vermutlich gescheitere Übungsbeispiele geben könnte,
welche dann nicht auf so trivial andere Weise gescheiter zu erledigen wären.

na ja, egal..<

06.01.2010, 17:22

Exkalibur

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joa das wäre natürlih auch so gegangen, aber man hat halt wieder was gerechnet, ich denke mal dass man das wirklich über ungleichungen zeigen soll bzw über wege, bei denen man nicht den taschenrechner zücken soll...denn 65²/8 im kopf is schon n bissl argh... Augenzwinkern

06.01.2010, 22:25

corvus

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Zitat:

Original von Exkalibur
.. zücken soll...denn 65²/8 im kopf is schon n bissl argh... Augenzwinkern

wollte eigentlich hier nicht nochmal was schreiben ..
aber das, was du da ablässt, ist wirklich echt "argh" geschockt

-->

1) es heisst nicht 65²/8 sondern (65/8)² .. ob du wohl den Unterschied durchschaust?

2) wenns halt nicht "im Kopf" geht .. Tipp: (60+5)² ..na ja - es soll Leute geben,
die 65²=65*65 zumindest dann "von Hand" - ohne herum"tasten" zu müssen - in den Griff bekommen smile

und ganz nebenbei:
um dich davon zu überzeugen, dass (65/8)² >66 ist , kannst du ganz einfach nur
zeigen, dass gilt: 65²>66*64
und da brauchst du echt nicht viel rechnen, denn 66*64= (65+1)*(65-1) =65² - 1 Wink

09.01.2010, 15:23

Exkalibur

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ja natürlich weiß ich dass das nich das gleiche is, hab da n quadrat bei 8 vergessen Hammer

, das mit dem argh war auf die kommazahl bezogen, dass man die nicht im kopf ausrechnen kann, bzw nich so einfach...egal...

und ja genau so hab ichs ja auch gezeigt, also ich habs dann so gemacht
65²>66*64
<=> 65*64+65>65*64+64
<=> 65>64 w.A.

danke euch trotzdem =)

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