Quersumme

06.01.2010, 07:45

Sandweg

Quersumme

Gibt es natürliche Zahlen, die kleiner sind als Ihre Quersumme?

Welche natürlichen Zahlen sind um 27 größer als ihre Quersumme?

Welche natürlichen Zahlen sind um 40 größer als ihre Quersumme?

06.01.2010, 09:35

jester.

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RE: Quersumme

Zitat:

Original von Sandweg
Gibt es natürliche Zahlen, die kleiner sind als Ihre Quersumme?

Ich denke das kann man sich leicht überlegen, wenn man eine Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Stellen darstellt als $\begin{eqnarray*} x=\sum_{k=0}^n a_k 10^k \end{eqnarray*}$ (mit passenden $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ), oder, falls du das Summenzeichen $\begin{eqnarray*} \sum \end{eqnarray*}$ noch nicht kennst, als $\begin{eqnarray*} x=a_0+a_1\cdot 10 + a_2 \cdot 10^2 + ... + a_n \cdot 10^n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Welche natürlichen Zahlen sind um 27 größer als ihre Quersumme?

Welche natürlichen Zahlen sind um 40 größer als ihre Quersumme?

Hier solltest du dir überlegen, dass die Differenz $\begin{eqnarray*} n-\operatorname{Quer}(n) \end{eqnarray*}$ immer intervallweise gleichbleibt und ein Vielfaches einer bestimmten Zahl ist.

Nachtrag: Ich wurde gerade darauf hingewiesen, dass meine Erklärung für das Schulforum vielleicht zu kompliziert ist, vor allem was die "geeigneten $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ " angeht. Das kann man sich so vorstellen:

$\begin{eqnarray*} 123 ~ = ~ \underline 3 \cdot \underbrace{10^0}_{=1} + \underline 2 \cdot 10^1 + \underline 1 \cdot 10^2 \end{eqnarray*}$ - dabei sind nun die unterstrichenen 1,2,3 unsere geeigneten $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ .

Auf diese Weise lässt sich natürlich jede Zahl (dann mit entsprechend anderen $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ) darstellen.

06.01.2010, 11:43

Sandweg

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RE: Quersumme
Kurz gesagt, gibt es also natürliche Zahlen die kleiner sind als ihre Quersumme, stimmts ?

06.01.2010, 11:47

jester.

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Es gibt ja nur zwei Möglichkeiten, entweder es gibt diese Zahlen oder es gibt sie nicht. Das heißt wenn ich jetzt diese Frage beantworte ist der Spaß vorbei.

Hast du geraten oder überlegt? Wie sehen deine Überlegungen aus? Gib doch mal eine begründete Vermutung ab. Augenzwinkern

06.01.2010, 11:52

Sandweg

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Ich denke es gibt sie, weil z.B. bei 11 die Quersumme 1+1= 2 ist.
Und somit gibt es doch eine kleinere natürliche Zahl.

06.01.2010, 11:58

jester.

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Also $\begin{eqnarray*} 11<2 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

06.01.2010, 12:04

Sandweg

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Also doch NEIN, ich glaub ich steh ein bissel auf dem Schlauch.

Bitte gebt mir die Antwort!!!!!!!!!!!!

06.01.2010, 12:11

jester.

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Ich hatte mir das so gedacht: $\begin{eqnarray*} x=\sum_{k=0}^n a_k \cdot 10^k \geq \sum_{k=0}^n a_k = \operatorname{Quer}(x) \end{eqnarray*}$ .

Kannst du damit etwas anfangen und daraus Schlüsse ziehen?

06.01.2010, 12:27

Sandweg

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Kann man das auch einfacher mit natürlichen Zahlen erklären?!

06.01.2010, 12:33

jester.

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Na ja, ich kann es dir in der Pünktchenschreibweise erklären und mit Beispiel verdeutlichen. Vielleicht fangen wir sogar besser mit den Beispielen an.

Beispiel 1) 217

$\begin{eqnarray*} 217 = 7 + 1\cdot 10 + 2 \cdot 100 > 7+1+2 = 10 = \operatorname{Quer}(217) \end{eqnarray*}$

2) 412

$\begin{eqnarray*} 412 = 2 + 1\cdot 10 + 4 \cdot 100 > 2+1+4 = 7 = \operatorname{Quer}(412) \end{eqnarray*}$

Allgemein heißt das, dass für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} x = a+ b\cdot 10 + c \cdot 100 + d \cdot 1000 + ... \geq a+b+c+d+... = \operatorname{Quer}(x) \end{eqnarray*}$ .

Also heißt das, dass es keine natürliche Zahl gibt, die kleiner als ihre Quersumme ist.

06.01.2010, 12:41

Sandweg

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Danke, ich hab es jetzt begriffen.

06.01.2010, 12:53

jester.

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Hast du dir schon Gedanken zu den zwei anderen Aufgaben gemacht?

06.01.2010, 13:00

cutcha

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Für die 2. Aufgabe hätte ich mir folgendes überlegt:

x-27 = Quer(x), für alle {x € IN | 30 <= x <=39}

Oder kann man schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=30}^n k-27 = Quer(k) \end{eqnarray*}$

für n=39
?

Bin dabei zunächst davon ausgegangen, dass die gesuchten Zahlen ja größerals 27 selbst sein müssen, da 27 ja nicht um 27 größer als seine eigene Quersumme sein kann. Die 10 Zahlen gaben dann genau die gewünschte Lösung.

06.01.2010, 13:09

jester.

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Zitat:

Original von cutcha
Für die 2. Aufgabe hätte ich mir folgendes überlegt:

x-27 = Quer(x), für alle {x € IN | 30 <= x <=39}

Das stimmt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=30}^n k-27 = Quer(k) \end{eqnarray*}$

Dem kann ich jedoch nicht so ganz folgen.

Mein Vorschlag ist: Arbeite(t) mit $\begin{eqnarray*} x-\operatorname{Quer}(x) = \sum_{k=0}^n a_k 10^k - \sum_{k=0}^n a_k \end{eqnarray*}$ .

Damit kommt man leicht darauf, dass dieser Wert intervallweise gleich ist (warum?) und dass er ein Vielfaches von 9 ist (warum?).

06.01.2010, 13:34

cutcha

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Ich glaube ich verstehe was du meinst. Wenn ich für z.B für a=10 einsetzen würde, hätte ich als Differenz der beiden Summen 9 raus. Das gleiche hätte ich für a=11. Also das Intervall [10;19] ist die QUersumme 9. [20;29] 18 und daraus kann ich auch schließen, dass es das Intervall [30;39] ist.

/Edit: Wenn ich mir das ganze durchlese ergibts eigentlich kaum Sinn, ich hoffe aber du weißt was ich meine ^^

06.01.2010, 13:39

jester.

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Da hast du etwas gründlich missverstanden. Weiter oben habe ich erklärt, wie die $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ zu deuten sind (es sind die Ziffern in der Dezimaldarstellung einer Zahl). Du kannst also nicht einfach $\begin{eqnarray*} a:=10 \end{eqnarray*}$ setzen.

Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_k 10^k - \sum_{k=0}^n a_k \end{eqnarray*}$ ist einfach nur eine andere Darstellung der Differenz einer Zahl x zu ihrer Quersumme Quer(x).

06.01.2010, 14:25

cutcha

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Ich verstehe nicht, wie ich ohne raten oder probieren an die Zahlen kommen soll, deren Differenz zu ihrer Quersumme 27 beträgt.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_k 10^k - \sum_{k=0}^n a_k \end{eqnarray*}$ =27

Wie kann ich diese Informationen entsprechend verarbeiten, um an die Lösung zu kommen?

06.01.2010, 14:42

jester.

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Na schön, dann zeige ich mal, wie es weitergeht:

$\begin{eqnarray*} x-\operatorname{Quer}(x) = \sum_{k=0}^n a_k 10^k - \sum_{k=0}^n a_k = \sum_{k=0}^n \left( a_k 10^k - a_k \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{k=0}^n a_k (10^k -1 ) = 9a_1 + 99a_2 + 999 a_3 + ... = 9 ( a_1 + 11 a_2 + 111 a_3 + ...) \end{eqnarray*}$

Kannst du jetzt erkennen, was passiert?

06.01.2010, 15:13

cutcha

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Ich glaube zwar das ergibt sich alles aus: 10-1=9 und dann:

9+(9+9*10)+(9+9*10+9*100)+...

aber ehrlich gesagt fehlt mir da einiges an Grundwissen um dir zu folgen...

Könnte ich jetzt 27 durch deine ausgeklammerte 9 teilen?

06.01.2010, 16:01

jester.

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Ich habe zwar langsam das Gefühl, dass ich an die Grenzen meiner Erklär-Fähigkeiten stoße, aber sei's drum.

Wir wissen also nun, dass für jede natürlich Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x-\operatorname{Quer}(x) = 9(a_1+11a_2+111a_3+...= \end{eqnarray*}$ . Dabei ist dann $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ die "Zehnerziffer", also die zweite Ziffer von rechts in deiner Zahl. $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ ist der Hunderter. Und so weiter.

So weit so klar...

Nun möchten wir, dass $\begin{eqnarray*} x-\operatorname{Quer}(x)=27 \end{eqnarray*}$ . Also überlegen wir uns, was mit den $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,... \end{eqnarray*}$ passieren muss, damit $\begin{eqnarray*} 27=9(a_1+11a_2+111a_3+...) \end{eqnarray*}$ .

Da stellt man dann leicht fest, dass dafür gelten muss: $\begin{eqnarray*} a_1=3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_2,a_3,a_4,... =0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ beliebig, also zwischen 0 und 9.

Damit bekommen wir dann in der Tat die Lösungen 30 bis 39 heraus.

Möchten wir dann noch wissen, ob es Zahlen gibt, die $\begin{eqnarray*} x-\operatorname{Quer}(x)=40 \end{eqnarray*}$ erfüllen, müssen wir uns nur überlegen, ob 40 ein Vielfaches von 9 ist, denn wir sehen ja oben, dass $\begin{eqnarray*} x-\operatorname{Quer}(x) \end{eqnarray*}$ immer die 9 vorne vor der Klammer trägt.

06.01.2010, 16:18

cutcha

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Sorry das ich dich soweit an deine Grenzen bringen musste smile

Aber jetzt habe ich es wenigstens auch verstanden Augenzwinkern

Ne, die 45 geht erst wieder!

x-Quer(x)=45=9(a1 +11a2 +111a3 +...)

mit a1=5; a2, a3... =0
und a0 kann 1-9 sein. Ich gucke mir das aber nochmal alles in Ruhe an damit ich es auch wirklich begriffen habe.

Danke jedenfalls!

06.01.2010, 16:28

jester.

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Zitat:

Original von cutcha
und a0 kann 1-9 sein.

0 bis 9. Aber gut, dass du es verstanden hast. Freude

26.01.2011, 19:31

Nichtsversteher

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RE: Quersumme
Hallo,
ich habe die gleichen Fragen wie oben. Allerdings verstehe ich eure Erklärung überhaupt nicht traurig

. Ich bin Klasse 8, auf Gym. Und Mathe ist nicht mein Lieblingsfach.(Nur das ihr euch nicht ärgert, wenn ich es nicht versteh)
Bitte antwortet da ich morgen alles abgeben muss...
Lg

26.01.2011, 19:35

Iorek

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Welche Erklärung verstehst du nicht? Welche Vorkenntnisse hast du? Benenne bitte konkret deine Probleme, wo du den vorgestellten Schritten in diesem Thread nicht folgen kannst.

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Quersumme

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