Summendarstellung von Quadratzahl

06.01.2010, 11:07

lane

Summendarstellung von Quadratzahl

Es gilt 3²=2+3+4. Lässt sich für jede ungerade Zahl n das Quadrat n² als Summe von n unmittelbar aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen darstellen? (Beweis!)

Man versuche zu verallgemeinern.

Kann mir bitte bei diesem Problem jemand helfen.

Ich habe bisher rausgefunden, dass das Quadrat aller Vielfachen von 3 als Summe unmittelbar aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen gilt. Da die Vorraussetzung n ungerade gilt, gilt es also nur für alle ungeraden Vielfachen von 3.
Außerdem weiß ich, dass n ungerade sein soll, ich n also auch als 2k+1, mit k aus Z.

Also kann ich schreiben:

(2k+1)² = u+(u+1)+(u+2), mit u aus Z

Jetzt komm ich aber irgendwie nicht weiter. Wie kann ich jetzt beweisen, dass die Aussage nicht für jede ungerade Zahl n gilt?

06.01.2010, 11:17

tmo

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RE: Summendarstellung von Quadratzahl

Zitat:

Original von lane
Also kann ich schreiben:

(2k+1)² = u+(u+1)+(u+2), mit u aus Z

Steht etwa irgendwo, dass es genau 3 aufeinanderfolgende Zahlen sein sollen? verwirrt

Wie bist du denn darauf gekommen, dass alle Vielfachen von 3 so darstellbar sind? Also stelle einfach mal $\begin{eqnarray*} (3n)^2 \end{eqnarray*}$ so dar.

Dann überlegen wir uns mal, wie man das verallgemeinern kann.

06.01.2010, 16:09

lane

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RE: Summendarstellung von Quadratzahl
Stimmt, so habe ich die Aufgabe noch gar nicht gelesen. Ich habe das jetzt noch einmal einfach nur durch einsetzten ausprobiert und tatsächlich können jetzt die Quadrate fast aller ungeraden natürlichen Zahlen als Summe n unmittelbar aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen dargestellt werden. Aber die 1 ist auch ungerade und die kann so nicht dargestellt werden. Damit gilt es nicht für alle ungeraden natürlichen Zahlen. Oder habe ich einen Denkfehler?

3²= 2+3+4
5²= 3+4+...+7
7²= 4+5+...+10
9²= 5+6+...+13
11²= 6+7+...+16
.
.
.

Dabei sieht man jetzt ja, dass da ein System hintersteckt. Aber wie verallgemeiner und beweis ich das?

06.01.2010, 16:17

lane

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RE: Summendarstellung von Quadratzahl
Mir ist gerade aufgefallen, dass ich die Aufgabe bisher falsch verstanden hatte.
Demnach ist 1^2=1

06.01.2010, 16:30

tmo

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Die Vermutung ist jetzt, dass

$\begin{eqnarray*} (2n-1)^2 = \sum_{k=a_n}^{b_n} k \end{eqnarray*}$

gilt.

$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ sind noch zu bestimmen.

Du hast ja schon ein paar Werte.

Z.b.

$\begin{eqnarray*} a_2=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_4=4 \end{eqnarray*}$

12.01.2010, 10:18

lane

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Die Verallgemeinerung lautet jetzt also:

Bed: n aus N und n – ungerade

n² = (2k – 1)² = Summe aus i von i=a_k bis a_k + (n-1),
mit k aus Z^+ und a_k=a_1,a_2, ..., a_n und a_1=1, a_2=2, ..., a_n=n

Liege ich damit richtig?

Aber ich versuche jetzt schon die ganze zeit, dies zu beweisen, aber ich weiß nicht wie? Kann mir jemand einen Tipp geben?

12.01.2010, 10:44

Kühlkiste

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Nimm Dir einfach ein ganz konkretes Beispiel:

Sei $\begin{eqnarray*} n=3. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2n-1)^2=5^2=25=3+4+5+6+7=\sum_{k=3}^7 k=\sum_{k=n}^{3n-2}k=\ldots \end{eqnarray*}$

12.01.2010, 15:01

lane

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Ja danke, das ist gut, hab ich auch schon ausprobiert, schon alleine, um das Ganze zu überprüfen. Nur leider reicht das einfache Einsetzten nicht als Beweis.

12.01.2010, 15:13

Kühlkiste

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Das sollte auch kein Beweis sein. Ein kleines bißchen solltest Du auch noch machen.
Du kannst dazu entweder per Induktion oder mittels Summenformel der arithmetischen Reihe schließen.

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