Konvergenzverhalten einer Reihe

06.01.2010, 12:25	lordofazeroth	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzverhalten einer Reihe Das Konvergenzverhalten folgender Reihe soll errechnet werden: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=42}^n \frac{n(n-1)sin(\frac{1-2n}{2}\pi)+n }{(n+2)^3} \end{eqnarray}$ von 42 bis unendlich Durch Graphenzeichnen im Taschenrechner weiß ich, dass das gegen Null geht. Idee: Konvergente Majorante finden: Regeln: \|an\| <= bn und Summe bn muss konvergieren. Der Sinus pendelt zwischen Null und eins, ich ersetze Ihn daher durch 1. Ich habe dann: $\begin{eqnarray} \frac{n^2+n}{(n+2)^3} \end{eqnarray*}$ Ist das soweit korrekt? Da ich den Sinus durch 1 ersetzt habe ist das ganze ja immer größer gleich dem Betrag der ursprünglichen Reihe. Weiters, limes n geht gegen unendlich, kommt Null heraus. Ist diese Rechnung korrekt?
06.01.2010, 12:38	Kühlkiste	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzverhalten einer Reihe Na und? $\begin{eqnarray} \left(\frac 1n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ ist auch eine Nullfolge aber $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty\frac 1n \end{eqnarray}$ divergiert. Mit Deiner Abschätzung gelangst Du nur zu einer divergenten Majorante was i.d.R. nicht schwer fällt aber eben auch nichts bringt.
06.01.2010, 13:27	lordofazeroth	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, habe nun einen Fehler erkannt. Durch den Sinus ist das ganze eine alternierende Reihe, Leibnitzkriterium kann also angewendet werden. Ich erhalte eine monoton fallende Nullfolge, die Reihe ist also konvergent gegen Null. €: Das sagt aber nichts über die absolute konvergenz aus EDIT: absolute Konvergenz ist gegeben, wenn die Reihe der Absolutbeträge konvergiert. kann ich den Sinus dann gleich 1 setzen und das Quotientenkriterium anwenden? Hierbei erhalte ich als Ergebnis Null.
06.01.2010, 14:45	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem Reihenindex ist auch was nicht in Ordnung, oder? Es sieht eher so aus, als meinst du $\begin{eqnarray} \sum_{n=42}^{\infty} \frac{n(n-1)\sin\left(\frac{1-2n}{2} \cdot \pi\right)+n}{(n+2)^3} \end{eqnarray}$ . Betrachten wir mal näher das Reihenglied $\begin{eqnarray} a_n = \frac{n(n-1)\sin\left(\frac{1-2n}{2} \cdot \pi\right)+n}{(n+2)^3} \end{eqnarray}$ : Für gerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ lässt sich das zu $\begin{eqnarray} a_n = \frac{n^2}{(n+2)^3} \end{eqnarray}$ vereinfachen, für ungerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ hingegen zu $\begin{eqnarray} a_n = -\frac{n^2-2n}{(n+2)^3} \end{eqnarray}$ . Ich teile NICHT deine Einschätzung, dass es sich nun direkt um eine Leibnizreihe handelt: Dazu müssten nämlich die Beträge $\begin{eqnarray} \|a_n\| \end{eqnarray}$ eine monoton fallende Nullfolge bilden, was sie aber nicht tun - tatsächlich gilt sogar $\begin{eqnarray} \|a_{2k-1}\| < \|a_{2k}\| \end{eqnarray}$ für alle relevanten $\begin{eqnarray} k\geq 22 \end{eqnarray}$ . Man kann allerdings folgendes tun: Zerlege die Reihe als Summe einer Leibnizreihe und einer (aus anderen Gründen) sogar absolut konvergenten Reihe.

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