Flächenintegrale

06.01.2010, 12:41	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächenintegrale Hallo, ich hätte da mal wieder ein Problem. Und zwar geht es um die Unabhängigkeit von der Parametrisierung der Fläche bei einem Flächenintegral. Also, gegeben ist eine Parametriserung einer Fläche F mit: $\begin{eqnarray} F=\{x=p(u) \, : \, u \in D \} \subset \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ und einer Parametriserung $\begin{eqnarray} p \in C^1 (D, \mathbb R^3) \end{eqnarray}$ . So, nun nehme ich mir eine weitere Parametriserung $\begin{eqnarray} q \in C^1(G, \mathbb R^3) \end{eqnarray}$ von der Fläche F. Dann soll ich nun zeigen: $\begin{eqnarray} \int_D \|\|(\partial_{u_1}p \times \partial_{u_2}p )(u) \|\| \, \mathrm{d}u = \int_G \|\|(\partial_{v_1}q \times \partial_{v_2}q )(v) \|\| \, \mathrm{d}v \end{eqnarray}$ Verwenden können wir (ohne Beweis), dass $\begin{eqnarray} p = q \circ \phi \end{eqnarray}$ mit einem Diffeomorphismus $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ist. Wegen diesem Diffeomorphismus ist mir zunächst der Tranformationssatz eingefallen. Allerdings habe ich noch nicht ganz durchblickt, was dann eigentlich zu zeigen ist. Kann da jemand den ein oder anderen Hinweis zu geben, wie ich da nun vorgehen muss? Gruß Edit: Wenn ich das linke Kreuzprodukt einfach mal ausrechne, sähe das ja so aus: $\begin{eqnarray} (\partial_{u_1}p \times \partial_{u_2}p)(u) = \begin{pmatrix} - \partial_{u_1}\varphi \\ -\partial_{u_2}\varphi \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , wenn ich setze: $\begin{eqnarray} p(u) = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \varphi(u_1,u_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und nu? ...

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