As easy as pi(e)...

06.01.2010, 13:05	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
As easy as pi(e)... Hier ein nettes Rätsel für alle, die es noch nicht kennen: Was ist größer, $\begin{eqnarray} \pi^e \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} e^\pi \end{eqnarray}$ ? Natürlich ist zur Beantwortung der Frage die Benützung eines TR nicht gestattet...
06.01.2010, 13:16	cutcha	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen das e^pi größer ist, weil ich mir folgendes Beispiel vorstelle: 2^3 > 3^2. Also wenn man die Zahlen wenigstens wissen darf , dann also e=2 und pi=3
06.01.2010, 13:20	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich stelle mir dann das vor: 1^2 > 2^1 ? Wohl eher nicht ... als Begründung ist das wohl zu wenig.
06.01.2010, 13:21	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
@cutcha Die Zahlen darfst schon wissen, aber ist nicht 2 eine ziemlich schlechte Approximation für e? Von daher würde ich mich jetzt nicht darauf verlassen... @Brightside Dein Argument scheint mir nicht stichhaltig zu sein, vielleicht versteh ich's aber nur einfach nicht...
06.01.2010, 13:47	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Das liest sich komisch, stimmt. Das war eine Reaktion auf cutcha. Was ich sagen wollte: Es gibt schon noch einige Zahlen, bei denen diese Ungleichung nicht stimmt. cutcha hat (so habe ich das verstanden) wahllos zwei Zahlen genommen und gesagt, wenn man Exponent und Basis vertauscht, dann stimmt das. Und meine Reaktion: Es gibt eben auch Zahlen, wo das nicht stimmt, weshalb cutchas Argumentation nicht stichhaltig ist ... Als Approximation habe ich die zwei gar nicht gesehen.
06.01.2010, 13:59	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ungleichung $\begin{eqnarray} a^b < b^a \end{eqnarray}$ für positive $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray} \sqrt[a]{a} < \sqrt[b]{b} \end{eqnarray}$ . Bei Untersuchung der Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = \sqrt[x]{x},\, x>0 \end{eqnarray}$ stellt sich heraus, dass diese für $\begin{eqnarray} x=e \end{eqnarray}$ ein globales Maximum hat. Damit gilt $\begin{eqnarray} f(\pi) < f(e) \end{eqnarray}$ und folglich auch $\begin{eqnarray} \pi^e < e^{\pi} \end{eqnarray}$ .
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06.01.2010, 14:10	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so zeigt man das... Der Trick bei der ganzen Sache ist, dass man durch das Ziehen der $\begin{eqnarray} (\pi e) \end{eqnarray}$ -ten Wurzel zu einer äquivalenten, aber einfacheren Fragestellung kommt, die man dann sogar noch im Kopf lösen kann...

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