Kurvenintegral berechnen - entlang Halbkreis

06.01.2010, 13:36	fraggelfragger	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegral berechnen - entlang Halbkreis Da die andere Aufgabe richtig war, möchte ich noch eine weitere Aufgabe lösen. Berechnen sie das Kurvenintegral $\begin{eqnarray} \int_{AB} \! (x+y) \, (dx+dy) \end{eqnarray}$ Der Weg wird durch einen Halbkreis beschreiben, mit dem Durchmesser AB. Die Punkte $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ sind gegeben durch: $\begin{eqnarray} A=(2,0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B=(0,0) \end{eqnarray}$ Lösung: 1) Mit einer Skizze Integrationsgrenzen und Richtung herrausfinden. [attach]12838[/attach] Achtung: Wechsel auf Polarkoordinaten! Intervall somit: $\begin{eqnarray} 0> t > \pi \end{eqnarray}$ 2) Zuerst benötigt man die Kreisgleichung. Allgemein: $\begin{eqnarray} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2 = r^2 \end{eqnarray}$ Der Mittelpunkt meines Halbkreises ist versetzt in x Richtung -> $\begin{eqnarray} x_0=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_0 = 0 \end{eqnarray}$ Gleichung lautet deshalb: $\begin{eqnarray} (x-1)^2+y^2 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=\sqrt{2x-x^2} \end{eqnarray}$ Da wir uns auf einen Kreis bewegen, wählen wir Polarkoordinaten. Das vereinfacht die Rechnung um einiges. Weil r = const. $\begin{eqnarray} x= cos(\phi) \cdot r = cos (\phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y= sin(\phi) \cdot r =sin (\phi) \end{eqnarray}$ 3) Kreigleichung anpassen auf Polarkoordinaten $\begin{eqnarray} y=\sqrt{2cos (\phi)-cos^2 (\phi)} \end{eqnarray}$ 4) Definition von t $\begin{eqnarray} \phi = t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dx=-sin(t)dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dy = \frac{-2sin(t)+2sin(t)cos(t)}{ 2\sqrt{2cos (t)-cos^2 (t)}} = \frac{-sin(t)+sin(t)cos(t)}{ \sqrt{2cos (t)-cos^2 (t)}} \cdot dt \end{eqnarray}$ 5) In Kurvenintegral einsetzen $\begin{eqnarray} \int_{AB} \! (x+y) \, (dx+dy) = \int_0^\pi\! (cos (t)+sin(t)) \, (-sin(t)+\frac{-sin(t)+sin(t)cos(t)}{ \sqrt{2cos (t)-cos^2 (t)}}) dt \end{eqnarray}$ Flächendilatation Polarkoordinaten = r (Meine Frage an dieser Stelle, brauch man die Flächendilatation überhaupt beim Kurvenintegral? Wenn ja wieso?) Der Ausdruck sieht nicht besonders richtig aus. Irgendetwas mache ich wohl falsch. Was habe ich falsch gemacht? vielen dank für eure Hilfe
06.01.2010, 14:29	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenintegral berechnen - entlang Halbkreis Hier versteh ich ja gleich mehrere Dinge nicht: 1. Warum in aller Welt nimmst nicht die Parameterdarstellung $\begin{eqnarray} x=1+\cos t, \quad y= \sin t, t \in [0, \pi] \end{eqnarray}$ für den Halbkreis? 2. Warum vor allem nimmst nicht den "shortcut" über die Gerade von A noch B ???
06.01.2010, 15:31	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenintegral berechnen - entlang Halbkreis Aus physikalischer Sicht kann man die Aufgabe wie folgt interpretieren: Gesucht ist die Arbeit W entlang dem Weg x im Kraftfeld F. $\begin{eqnarray} W=\int_A^B \!\vec F(\vec x) \, d \vec x \end{eqnarray}$ Die Kraft ist $\begin{eqnarray} \vec F =\begin{pmatrix} x+y \\ x+y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Der Weg ist der Halbkreis $\begin{eqnarray} \vec x =\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1+\cos (\phi) \\ \sin ( \phi ) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \phi \in [0;\pi] \end{eqnarray}$ . Offenbar ist die Ableitung des Weges $\begin{eqnarray} \frac{d \vec x}{d \phi}=\begin{pmatrix} -\sin (\phi) \\ \cos( \phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , also umgestellt $\begin{eqnarray} d \vec x=\begin{pmatrix} -\sin (\phi) \\ \cos( \phi) \end{pmatrix} d \phi \end{eqnarray}$ Setzt man alles ins Intergral ein, ergibt das $\begin{eqnarray} W=\int_0^\pi \! \begin{pmatrix} 1+\cos(\phi)+\sin(\phi) \\ 1+\cos(\phi)+\sin(\phi) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\sin(\phi) \\ \cos(\phi) \end{pmatrix} d \phi \end{eqnarray}$ Multipliziere den Integranden wie ein übliches Skalarprodukt aus und integriere über phi ab.
06.01.2010, 23:03	fraggelfragger	Auf diesen Beitrag antworten »
scheint als ob ich die Definition des Kurvenintegrals noch nicht ganz verstehe. @ Ehos dank deiner "physikalischen" Erklärung habe ich es nun besser verstanden. Kann ich das immer so anwenden/ herleiten? Oder gibt es Ausnahmefälle? Weil so ist das echt sehr schön strukturiert und man kann eigentlich nicht viel falsch machen. @ Mystic auch dir vielen dank, 1. Weis ich selbst nicht 2. Teilaufgabe a) war den direkten Weg zu nehmen -> Gerade A nach B Ich habe meine Lösung für diese Aufgabe nun mal angehängt, entschuldigt das Kommentare auf franz. sind. [attach]12848[/attach] [attach]12849[/attach] Wäre nett wenn ihr drüber schauen könntet und mir sagen könntet was noch falsch ist, oder bedürftig geschrieben. Was man besser machen kann. danke im voraus an euch
07.01.2010, 00:51	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, bis auf dumme Rechenfehler beim Integrieren (s.u.), die sich aber zu deinem Glück nicht auswirken, ist es korrekt, aber ich denke du bist Ehos mit seiner "physikalischen" und vor allem extrem vektoriellen Sicht der Dinge auf Umwege gefolgt, welche die ganze Sache in unzumutbarer Weise aufblähen... Ich schreib dir vielleicht mal zum Vergleich hin, was du für die Rechnung wirklich brauchst und da kommt kein einziger Vektor vor!!! Aus $\begin{eqnarray} x= 1 +\cos t, \quad y= \sin t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} dx =- \sin t dt, \quad dt = \cos t dt \end{eqnarray}$ folgt durch Einsetzen $\begin{eqnarray} \int_{AB} (x+y)(dx+dy) = \int_0^{\pi} (1+\cos t+\sin t)(\cos t - \sin t) \, dt= \int_0^{\pi} (\cos t -\sin t +\cos (2t)) \, dt =\left(\sin t +\cos t +\frac {\sin (2t)}2 ) \right \|_0^{\pi}=-2 \end{eqnarray}$ Vor allem wenn so ein Beispiel zur Prüfung kommt, würde ich dir doch eher diesen kurzen Weg empfehlen, statt eine ganze Seite mit sinnlosen (und z.T. auch falschen) vektoriellen Notationen "zuzupflastern", da das dann doch auch eine Zeitfrage ist...
09.01.2010, 09:41	fraggelfragger	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja da hast du recht, Zeit ist ein wichtiger Faktor, und wenn ich dann noch falsche vektorielle Ausdrücke auf dem Blatt stehen habe, kommt das auch nicht gut. Ich werde absofort es so versuchen wie du es mir gezeigt hast. Jetzt aber noch mal zum Zusammenfassen. 1) Ich wende den Satz von Green-Riedmann an. 2) Ich suche die Parameterform der Funktion 3) Ich differenziere diese und stelle um 4) Und setze Parameterform und umgestellte Differenzierung ein 5) Grenzen anpassen 6) Integral berechnen Vorgehensweise korrekt? Danke Mystic das du mir geholfen hast, und ich entschuldige mich nochmals das ich vergessen habe auf diesen Thread eine Antwort/Feedback zu geben. Ich verspreche, das kommt nicht mehr vor.
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