Aufgabe zu Basen

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kolto Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu Basen
Konnte keine besonders treffende überschift finden für die Aufgabe:

V d-dim. KVR,
Basis von V.

Weiter sei

Jetzt lautet die Aufgabe: Für welche sind die sämtliche Basen von V.

Die Aufgabe is aus ner Klausur von 1999 oder so aber ich denk schon dass ich die irgendwie lösen können sollte mit meinem wissen.

Bin aber nicht weit gekommen, ich weis nur, dass x1,...,xn ungleich null sein müssen, da sonst die obigen basen garnicht alle existieren.
Ich hab mir gedacht, es müsste doch zusätzlich gelten, dass wenn ich jetzt ein element aus V darstelle mit einer der Basen, dann müsste doch, sofern es sich nicht um den nullvektor handelt, dieses element ja bereits in der Basis enthalten sein, da sonst man es ja eintauschen dürfte über steinitz und man dann ne neue basis noch hätte? komme nicht wirklich weiter D:
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu Basen
Eine Basis liegt vor, wenn deren Determinante nicht verschwindet. Es muss also gelten



...



Nach den allgemeinen Gesetzen über Determinanten ändern sich diese Determinanten nicht, wenn man in der Summe alle diejenigen Summanden weglässt, in denen schon die anderen Basisvektoren auftreten, also



...



Wir ziehen die Koeffizienten vor und erhalten



...




Da die laut Voraussetzung eine Basis darstellen, verschwindet keine Determinante. Man kann also beliebige Koeffizienten verwenden, die ungleich Null sind und erhält in jedem Fall eine Basis.
 
 
kolto Auf diesen Beitrag antworten »

ja, aber die aufgabe war doch zu zeigen, dass das die einzigen basen von V sind.

ist das damit auch bewiesen?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage lautete:

Für welche sind die die sämtlichen Basen?

Das ist wirklich etwas komisch formuliert. Ich verstehe die Frage wie folgt:

Welche hinreichende Forderung muss man an die stellen, damit alle Basen sind? Eindeutig sind diese Basen aber nicht.
kolto Auf diesen Beitrag antworten »

"die" kommt weg, seh ich grad. da hab ich mich verschrieben. wollte zuerst schreiben "die einzigen" und danach"sämtliche" wies in der aufgabenstellung steht.
aber auch "die sämtlichen" bedeutet meiner meinung nach (wie die andern zwei formulierungen) zweifelsfrei, dass es die einzigen sein sollen
kolto Auf diesen Beitrag antworten »

ich push das mal
kolto Auf diesen Beitrag antworten »

nochma push, die aufgabe is noch ungelöst!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Solange K nicht endlich ist, hat der Vektorraum sowieso unendlich viele Basen. Ehos hat alles gesagt. (Sogar zuviel, wie es eben seine Art ist Augenzwinkern )

Die Aufgabe ist hier vollständig gelöst. Für eine ungünstig formulierte Fragestellung können wir nichts.

Gruß,
Reksilat.
kolto Auf diesen Beitrag antworten »

ok also wenn das so ist wars ja echt einfach. aber dann wäre die aufgabenstellung einfach falsch. aber gut
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