Herleitung Kugelschicht

06.01.2010, 15:37

Sina91

Herleitung Kugelschicht

Ich bräuchte gaanz dringend eine allgemeine Herleitung zur Berechnung des Volumens einer Kugelschicht....mit integralrechnung... ich bekomms einfach nicht hin... danke schon mal im vorraus!!!

LG sina

06.01.2010, 16:11

riwe

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RE: Herleitung Kugelschicht
hier solltest du fündig werden

kugelschicht

06.01.2010, 16:34

Sina91

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RE: Herleitung Kugelschicht
danke! Aber das ist leider ohne integralrechnung... ich brauch ne herleitung mit intgralrechnung... =(

06.01.2010, 19:08

riwe

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RE: Herleitung Kugelschicht
wo liegt dein roblem dabei verwirrt

mit der formel für rotationskörper, sowie
mit $\begin{eqnarray*} x_b=x_a+h \end{eqnarray*}$ und den zugehörigen radien der schnittkreise $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ hast du das integral:

$\begin{eqnarray*} V=\pi \int_{x_1}^{x_2} \! y^2(x) \, dx =\pi \int_{x_a}^{x_a+h} \! (r^2-x^2) \, dx \end{eqnarray*}$

was mit ein bißerl umformerei auf das gewünschte ergebnis führt.

also male einmal her, wie weit du kommst,
sonst bekomme ich wieder einmal eine auf die finger smile

08.01.2010, 16:09

Sina91

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RE: Herleitung Kugelschicht
Danke für die Hilfe! Gott

Alsooo, ich bin jetzt soweit gekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\pi h(3r²+3(x_{a})²+x_{a}h+h²) \end{eqnarray*}$

aber das kann ja irgendwie noch net so stimmen. Ich soll in der endformel nur r und $\begin{eqnarray*} x_{a} \end{eqnarray*}$ haben....

08.01.2010, 16:55

riwe

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RE: Herleitung Kugelschicht

Zitat:

Original von Sina91
Danke für die Hilfe! Gott

das ist ziemlich falsch.
schreibe deine rechnung hier rein,
wenn möglich bald smile

dann kann ich dir weiterhelfen

edit so nebenbei - vielleicht happert´s ja daran:

$\begin{eqnarray*} (a + b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{eqnarray*}$

08.01.2010, 20:10

Sina91

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RE: Herleitung Kugelschicht
ja das hab ich mir schon gedacht dass das bissi falsch ist ;-)

$\begin{eqnarray*} \pi \int_a^a+h\! (r²-x²) \, dx = \pi \left[r²x-\frac{1}{3}x³ \right]_{a}^{a+h}= \pi (r²a+r²h-\frac{1}{3}(a³+3a²h+3ah²+h³))-(r²a-\frac{1}{3}a³)= \pi (r²h+a²h+ah²+\frac{1}{3}h³= \frac{1}{3}\pi h(3r²+3a²+xh+h²) \end{eqnarray*}$

08.01.2010, 20:37

riwe

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RE: Herleitung Kugelschicht

Zitat:

Original von Sina91
ja das hab ich mir schon gedacht dass das bissi falsch ist ;-)

$\begin{eqnarray*} \pi \int_{x_a}^{x_{a+h}}\! (r²-x²) \, dx =\pi \left[r²x-\frac{1}{3}x³ \right]_{x_a}^{x_{a+h}}=\pi (r²x_a+r²h-\frac{1}{3}(x_a^3+3x_a²h+3x_ah²+h³)-(r²x_a-\frac{1}{3}x_a³)) \end{eqnarray*}$

ich habe es einmal lesbar gemacht.
bis hierher stimmt es nun Freude

allerdings mußt du $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x_a \end{eqnarray*}$ ersetzen
(und statt "²" gehört "³"

nun solltest du etwas sorgfältiger mit den vorzeichen umgehen
also los geht´s smile

08.01.2010, 22:41

Sina91

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RE: Herleitung Kugelschicht
ok also jetzt komm ich auf:

$\begin{eqnarray*} \pi (r²h-x_a²h-x_ah²-\frac{1}{3}h³)= \pi h(r²-x_a²-x_ah-\frac{1}{3}h²) \end{eqnarray*}$

aber da hab ich immer noch 3 variablen...

08.01.2010, 23:08

riwe

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RE: Herleitung Kugelschicht

Zitat:

Original von Sina91
ok also jetzt komm ich auf:

$\begin{eqnarray*} \pi (r²h-x_a²h-x_ah²-\frac{1}{3}h³)=\pi h(r²-x_a²-x_ah-\frac{1}{3}h²) \end{eqnarray*}$

aber da hab ich immer noch 3 variablen...

kannst du bitte den latex-code in 1 zeile schreiben unglücklich

ja das stimmt jetzt.
natürlich hast du 3 variablen, das wird auch so bleiben: die beiden radien a und b und deren x-abstand h:

damit du auf die gewünschte formel kommst, benütze jetzt:

(1) $\begin{eqnarray*} r^2=a^2+x_a^2\to r^2-x_a^2=a^2 \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} r^2=b^2+(x_a+h)^2 \end{eqnarray*}$

damit kannst du im obigen ausdruck $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_a \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ersetzen

um den ausdruck $\begin{eqnarray*} x_a\cdot \end{eqnarray*}$ h zu eliminieren, subtrahiere (2) - (1)

und schon bist du fertig Augenzwinkern

11.01.2010, 17:04

Sina91

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RE: Herleitung Kugelschicht
ha dankeschön, jetzt hab ich das raus was ich brauchte! smile

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