Tipp zur Herleitung gesucht...

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dabanana Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp zur Herleitung gesucht...
Hallo allerseits!

Ich bin ganz neu hier und habe auch sofort eine Frage an euch!

In der angehängten Datei seht ihr drei Gleichungen.
Leider ist mir unklar, wie ich auf die dritte Gleichung kommen kann.

Gleichung eins gibt die Veränderung der Schulden über die Zeit t an --> b{punkt}(t)
Gleichung zwei ist auch klar.
Gleichung drei gibt nun nicht mehr die Veränderung der Schulden sondern der Schuldenstand selber. Dabei spielt plötzlich e eine Rolle.
Wie und mit welchen Formel oder Handgriffen ist man denn da vorgegangen?
Ich habe schon versucht Bücher zu konsultieren, leider weiss ich nicht so recht unter was ich da nachschauen muss.... =(

Hoffe hier kann mir jemand ein bischen Hilfestellung geben!
Vielen Dank im Vorraus!!!


P.S.: Leider ist der Titel nicht sehr aussagekräftig, aber ich weiss leider nicht, um welches mathematisches Teilgebiet es sich hier tatsächlich handelt... =(
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Die dritte Gleichung ist die/eine Lösung der sogenannten Differentialgleichung, welche hier die erste Gleichung ist.

Bin kein Experte auf dem Gebiet, aber die Differentialgleichung und die Lösung wirken auf mich so, als könntest du das Ganze mit der sog. Trennung/Separation der Variablen lösen.

Damit hast du erstmal zwei Begriffe, über die du dich erkundigen kannst.

air
dabanana Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, werds mal suchen.
Schonmal vielen Dank für die schnelle Antwort! =)
Werde es freudig kundtun wenn ich was finde!
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

gerne. Aber verlass dich nicht auf die Methode. u.U. ist das eine komplexere DGL (wie gesagt, kenne mich da nicht aus).
Differentialgleichungen sind ein enormes Teilgebiet der Mathematik.

Vielleicht kann dazu ja jemand anders was sagen.

air
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreibe die Dgl. (1) aus deinem Druck mal etwas günstiger auf.



Nach dem allgemeinen Verfahren lösen wir zuerst die homogene Gleichun (also ohne die rechte Seite). Die homogene Lösung lautet (Prüfe das durch Einsetzen nach!).



Hierbei ist C eine beliebige Konstante, die später bestimmt wird. Nach dem allgemeinen Verfahren bestimmt man danach eine partikuläre Lösung (also mit rechter Seite). Wie man durch Einsetzen leicht nachprüfen kann, ist dies einfach eine Konstante



Bekanntlich ist die allgemeine Lösung gerade die Summe beider Lösungen, also



Die bisher unbekannte Konstante C wird festgelegt durch die Tatsache, dass der Anfangswert b(0) zur Zeit t=0 in deiner Aufgabe mit bezeichnet wird. Wir setzen in die Lösung also t=0 ein und erhalten (weil dann die Exponentialfunktion den Wert 1 annimmt)



Umstellen ergibt die Konstante C.



Diese Konstante C setzen wir in die obige allgemeine Lösung ein und erhalten



Dies stellen wir noch etwas um und erhalten



Das ist die Lösung (3) in deine Druck, wobei in der letzten Klammer die Summenden vertauscht sind. Ich glaube in deinem Druck ist das ein Druckfehler.
dabanana Auf diesen Beitrag antworten »
Wow....
Also, ich bin schwer beeindruckt möchte mich an dieser Stelle schonmal herzlichst bedanken!

Trotzdem habe ich da ein Paar Fragen zu, die du mir vielleicht noch erläutern köntest...
Mir ist das ganze Feld ziemlich neu, gucke aber parallel in ein Buch und versuche es zu verstehen.
1) Das Verfahren ist in meinem Buch leider nicht drin, hast du da eine Empfehlung, wo ich das gut erklärt nachlesen kann?


Zitat:
Original von Ehos
Ich schreibe die Dgl. (1) aus deinem Druck mal etwas günstiger auf.



Nach dem allgemeinen Verfahren lösen wir zuerst die homogene Gleichun (also ohne die rechte Seite). Die homogene Lösung lautet (Prüfe das durch Einsetzen nach!).



Hierbei ist C eine beliebige Konstante, die später bestimmt wird. Nach dem allgemeinen Verfahren bestimmt man danach eine partikuläre Lösung (also mit rechter Seite). Wie man durch Einsetzen leicht nachprüfen kann, ist dies einfach eine Konstante

--> bis hierhin konnte ich dir folgen, aber wie kommt man auf diese Konstante g0?



Bekanntlich ist die allgemeine Lösung gerade die Summe beider Lösungen, also



Die bisher unbekannte Konstante C wird festgelegt durch die Tatsache, dass der Anfangswert b(0) zur Zeit t=0 in deiner Aufgabe mit bezeichnet wird. Wir setzen in die Lösung also t=0 ein und erhalten (weil dann die Exponentialfunktion den Wert 1 annimmt)



Umstellen ergibt die Konstante C.



Diese Konstante C setzen wir in die obige allgemeine Lösung ein und erhalten



Dies stellen wir noch etwas um und erhalten



Das ist die Lösung (3) in deine Druck, wobei in der letzten Klammer die Summenden vertauscht sind. Ich glaube in deinem Druck ist das ein Druckfehler.


Dem Rest konnte ich ebenfalls folgen.
Übrig bleibt also die Frage nach der Konstantenbestimmung in der "partikulären Lösung"!?

Vielen Dank nochmals!
 
 
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommt man auf die partikuläre Lösung ?

In diesem Fall "sieht" man ohne Rechnung, dass die partikuläre Lösung eine Konstante sein muss, weil die Ableitung jeder Konstanten verschwindet. Wenn man nämlich als "Probe" den Ansatz in die Dgl. einsetzt, verschwindet dort der 1.Summand mit der Ableitung. Übrig bleibt eine einfache Bestimmunggleichung für diese noch unbekannte Konstante, was tatsächlich ergibt. Rechne das mal nach.

In anderen Fällen, wo die rechte Seite der Dgl. keine Konstante ist, geht das in der Regel nicht so einfach. Dann kann die partikuläre Lösung eine komplizierte Funktion werden.
-------------------------
Vielleicht guckst Du mal in ein Buch über Differenzialgleichungen unter folgenden Stichwörter nach:

"Differenzialgleichungen 1.Ordnung"
"Gewöhnliche Differenzialgleichung"
"Lineare Differnzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten"
"partikuläre Lösung"

Im vorliegenden Fall handelt es sich um eine
"inhomogene, gewöhnliche, lineare Differenzialgleichung 1.Ordnung mit konstanten Koeffizienten"
Das ist zum Glück der einfachste Fall.
dabanana Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Nochmals danke für deine Hilfe.
Dank der Stichworte konnte ich weitere Bücher finden, inzwischen ist mir auch die Berechnung der Konstante klar.
Werde mich da jetzt mal weiter dran versuchen, da ich das jetzt wohl noch das eine oder andere mal brauche.
VG,

Lars
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