Formel herleiten für: Summe k=0 bis n [cos(k*x)]

06.01.2010, 17:36

bartman2000

Formel herleiten für: Summe k=0 bis n [cos(k*x)]

Hallo zusammen,
die Aufgabenstellung sieht folgendermaßen aus:

"Leiten Sie aus der Summenformel für die endliche geometrische Reihe (die auch in C gilt) eine Formel her zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n cos(kx) \end{eqnarray*}$ "
Nun weiss ich, dass
$\begin{eqnarray*} cos(kx) = \frac{1}{2} (e^{ikx} + e^{-ikx} ) \end{eqnarray*}$
und somit
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n cos(kx) = \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^n e^{ikx} + \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^n e^{-ikx} \end{eqnarray*}$

Man hat uns den Tipp gegeben eine Fallunterscheidung zu machen:
1. $\begin{eqnarray*} x = 2\pi l, l\in Z \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} x\neq {2\pi l, l\in Z} \end{eqnarray*}$

I $\begin{eqnarray*} x = 2\pi l, l\in Z \end{eqnarray*}$ :
da $\begin{eqnarray*} l\in Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k\in N \end{eqnarray*}$ folgt
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^n e^{ikx} + \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^n e^{-ikx} = \frac{1}{2}\cdot n+ \frac{1}{2}\cdot n=n \end{eqnarray*}$
richtig?

II $\begin{eqnarray*} x\neq {2\pi l, l\in Z} \end{eqnarray*}$ :
hier bin ich nun steckengeblieben. Ich denke, dass ich die geometrische Reihe verwenden soll $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n q^{i} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$ , aber wie?
Habt ihr einen Tipp?

06.01.2010, 18:07

Felix

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$\begin{eqnarray*} e^{ikx} = (e^{ix})^k \end{eqnarray*}$

06.01.2010, 18:50

bartman2000

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Toll

Man sieht mal wieder den Wald vor lauter Bäumen nicht...

Vielen Dank!

11.01.2010, 15:10

Feigling

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hey..
ich muss diese aufgabe auch machen aber ich hab leider noch nicht ganz verstanden wie ihr die jetzt gelöst habt...

genauer.. wie löse ich denn den zweiten fall? wie fange ich da an?

11.01.2010, 15:26

wisili

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Zitat:

Original von Felix
$\begin{eqnarray*} e^{ikx} = (e^{ix})^k \end{eqnarray*}$

cos kx + i sin kx = (cos x + i sin x)^k

24.01.2010, 16:00

Besucher

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Hi.

Ich hab ne ähnliche Aufgabe, die ich lösen soll, komm aber auch mit den bisherigen Hinweisen nicht weiter...

Ich soll zeigen, dass für n \in \mathbb N und x \in \mathbb R mit
\sin(\frac{x}{2} ) \neq 0 folgendes gilt:

\sum\limits_{k=0}^n \cos(kx)= \frac{\sin(\frac{n+1}{2} x)}{\sin(\frac{x}{2} )} \cos(\frac{n}{2}x )

Hinweis ist, dass ich die Darstellung \cos(x) = Re (e^{ix} ) und die Partialsumme der geometrischen Reihe nutzen soll.
Mir ist klar, dass ich e^{ikx} auch schreiben kann als e^{ix^{k} } schreiben kann und damit die Partialsumme anwenden kann, aber ich komm trotzdem nicht weiter als bis zu folgender Stelle:

Re (\frac{1-e^{ix^{n+1}} }{1-e^{ix} } )

Wenn ich das ganze noch auseinander klamüser komme ich höchstens noch auf:

Re (\frac{1-e^{ixn} e^{ix} }{1-e^{ix} } )

Und ab da komm ich dann nicht weiter.
Würd mich freuen, wenn mir da jemand weiter helfen könnte.

24.01.2010, 16:02

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Na toll, da hab ich mir solche Mühe mit den Formeln gegeben und der schreibt die nich um...
Hab ich eine Einstellung übersehen oder kann man diese Option als unregistrierter nicht nutzen?

24.01.2010, 16:23

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Ok, ich hab den Fehler gefunden, jetzt also den ganzen Text noch mal mit verständlichen Formeln:

Hi.

Ich hab ne ähnliche Aufgabe, die ich lösen soll, komm aber auch mit den bisherigen Hinweisen nicht weiter...

Ich soll zeigen, dass für n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{x}{2} ) \neq 0 \end{eqnarray*}$ folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \cos(kx)= \frac{\sin(\frac{n+1}{2} x)}{\sin(\frac{x}{2} )} \cos(\frac{n}{2}x ) \end{eqnarray*}$

Hinweis ist, dass ich die Darstellung $\begin{eqnarray*} \cos(x) = Re (e^{ix} ) \end{eqnarray*}$ und die Partialsumme der geometrischen Reihe nutzen soll.
Mir ist klar, dass ich $\begin{eqnarray*} e^{ikx} \end{eqnarray*}$ auch schreiben kann als $\begin{eqnarray*} e^{ix^{k} } \end{eqnarray*}$ schreiben kann und damit die Partialsumme anwenden kann, aber ich komm trotzdem nicht weiter als bis zu folgender Stelle:

$\begin{eqnarray*} Re (\frac{1-e^{ix^{n+1}} }{1-e^{ix} } ) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das ganze noch auseinander klamüser komme ich höchstens noch auf:

$\begin{eqnarray*} Re (\frac{1-e^{ixn} e^{ix} }{1-e^{ix} } ) \end{eqnarray*}$

Und ab da komm ich dann nicht weiter.
Würd mich freuen, wenn mir da jemand weiter helfen könnte.

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