Isomorphismus

Neue Frage »

Lea Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus
Hallo
Ich will folgende Aufgabe lösen:
Betrachte für die multiplikative Gruppe die Untergruppen , und .
1)
2)
3)
4)
Ich vermute, dass ich dazu den Homomorphiesatz benötige, den ich kenne. Nur habe ich ein Problem, wie ich das konkret mache. Also müsste ich ja zum Beispiel bei 1) zeigen, dass ein surjektiver Homomorphismus ist und der ist. Stimmt das? Wenn ja kann mir jemand einen Tipp geben wie ich das konkret mache bzw welche Funktion ich da nehmen kann.
Zu 3) und 4) weiß ich dass ich da irgendwie die Exponentialfunktion verwenden soll. Aber ich weiß schon nicht so genau wie ich darauf komme, dass zum Beispiel bei 3) der ist. Stimmen meine Überlegungen überhaupt soweit?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus
Hallo Lea,

Ja, es geht hier darum, passende Homomorphismen zu finden.
Bei 2) zum Beispiel sollte das nicht wirklich schwer sein, denn Dein Kern sollte hier ja sein. Welche Abbildung hat denn nun den Kern ? Augenzwinkern

Auch bei 1) muss man sich nur den möglichen Kern genauer anschauen: Welche Abbildung bildet denn die , also die n-ten Einheitswurzeln auf 1 ab?

Bei 3) und 4) wirst Du jeweils die gleiche Abbildung benutzen können. Tipp: verwende die Exponentialform der komplexen Zahlen:


Deine Funktion wird dann so aussehen:

Nur das musst Du noch finden.

Beachte auch, dass hier Gruppen bezüglich unterschiedlicher Operationen behandelt werden. Bei 3) und 4) bildet die Abbildung von einer multiplikativen in eine additive Gruppe ab.

Gruß,
Reksilat.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2). Auch die Abbildung mit ist ein (surjektiver) Homomorphismus einer multiplikativen Gruppe auf eine additive Gruppe.
Übrigens gilt
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie definierst Du Dein ? verwirrt
Außerdem ist . Das wird mit der Addition wohl kaum zur Gruppe. Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, da habe ich eine Großigkeit (das Gegenteil von Kleinigkeit) durcheinandergebracht. ist zweifellos besser.
Lea Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus
Vielen Dank für die Antworten.
Also habe mich zuerst mal um 1) und 2) gekümmert. Also zur 2)
Ich habe eine Abbildung genommen und h(z):=|z|. Hiermit konnte ich nachweisen, dass es ein Homomorphismus ist. Nur mit der surjektivität bin ich mir noch nicht ganz sicher, weil ich die ja auch benötige.
Zur 1):
Also ich weiß, dass
für alle geraden n mit der Eulerischen Formel 1 wird. Ich bräuchte ja jetzt eine Abbildung , die dazu passt. Das bekomme ich irgendwie nicht zusammen und weiß nicht wie ich das als Abbildung formulieren kann.
Aber stimmen die beiden soweit?
 
 
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus
Zu 2): Zeige doch einfach, dass es zu jedem ein gibt, mit .

Zu 1)
Zitat:
Also ich weiß, dass
für alle geraden n mit der Eulerischen Formel 1 wird.

Das ist Unfug. für alle . Hier steht das aber unter dem Bruchstrich. Was ist denn ?
Lea Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus
Ohja ich merke da habe ich wirklich etwas verwechselt.
Also | Darf ich das so machen?Aber irgendwie habe ich dann immer noch keine Abbildung h.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus
Zitat:
Original von Lea
|

Fehler:
1. Gleichheitszeichen: Das ist nicht die Definition von . Das muss im Exponenten unter dem Bruchstrich stehen
2. Gleichheitszeichen: Doppelbelegung von . Es ist
3. Gleichheitszeichen: Falsch! In der Menge befinden sich insgesamt n verschiedene Elemente. Lies Dir mal das durch: klick
4. Gleichheitszeichen: Was soll sein? Die Abbildung aus 2) wird hier nicht funktionieren.

Das 5. Gleichheitszeichen ist richtig. Das ist die Definition des Kerns.
Lea Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus
Tut mir Leid da waren einige Tipp- und Gedankenfehler drin. Ich versuche mal Ordnung in mein Caos zu bringen.

| und als ich mir die empholene Seite angeschaut habe bin ich darauf gekommen.

ist 1, wenn n, k teilt. Oder?
Hoffe hab jetzt keine Fehler mehr drin.
und jetzt fehlt mir noch die passende Funktion oder?
Lea Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus
kann mir vielleicht nur jemand sagen, ob das so stimmt bis jetzt und ich auf dem richtigen Weg bin? Wäre echt super.
Lea Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus
Kann es sein dass ich meine Abbildung so definieren müsste:
? Dann könnte ich nämlich auch nachweisen dassdie Abbildung ein Homomorphismus ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, gefällt mir, macht alles was er soll. ist ein surjektiver Homomorphismus mit Kern .
Lea Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort und Danke für die Hilfe an Reksilat und Elvis.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »