Sechs Ableitungen

06.01.2010, 19:23

Bahlsen

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Sechs Ableitungen

Ich habe mich nach langer Zeit mal wieder an Ableitungen gestürzt und musste dabei schockierenderweise feststellen, dass ich mit den einfachsten schon gar nicht mehr zurechtkomme.

Folgende sechs Aufgaben möchte ich lösen:

a) f(x) = x^5 - x^(-3) + 1/2*x^2 - 60x + 5

b) f(x) = (x+3)*(x-5)

c) f(x) = 1 / 4x^3

d) f(x) = 2 / 5 * Wurzel (x)

e) f(x) = 1 / x * (-1 - KL) ; K, L sind ganze Zahlen

f) f(x) = -8sin(x) - 8cos(x) + cos(x) / 8

---

a), b) sowie f) habe ich bereits bearbeitet:

a) f'(x) = 5x^4 + 3x^(-4) + x - 60
f''(x) = 20x^3 - 12x^(-5) + 1

b) f'(x) = 2x - 2
f''(x) = 2

f) f'(x) = -8cos(x) + 8sin(x) - ???
f''(x) = 8sin(x) - 8sin(x) + ???

---

Ich wäre dankbar, wenn ihr mir bei c), d) und e) helfen und die bereits gerechneten Aufgaben gegebenenfalls korrigieren könntet. smile

smile

06.01.2010, 19:28

Iorek

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Potenzgesetze sind bei denen hilfreich, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}=x^{-1}, \ \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ smile

smile

06.01.2010, 19:30

hut

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Hallo,

zu c)
$\begin{eqnarray*} 1\cdot \frac{1}{4}x^{-3} \end{eqnarray*}$
Das dürfte dir bestimmt keine Probleme machen.

d)
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})' \end{eqnarray*}$
Wie gewohnt ableiten Freude

Freude

.

Und e) ist etwas missverständlich, da wären Klammern oder LaTex ganz nützlich.

Gruß

edit: zu spät smile

smile

06.01.2010, 19:42

Bahlsen

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Zitat:

Original von hut
Und e) ist etwas missverständlich, da wären Klammern oder LaTex ganz nützlich.

Ich versuche es mal so:

e) 1 / x ^ ((-1) - K * L) ; K, L sind ganze Zahlen

Ein Bruch mit 1 im Zähler und x hoch -1 minus K mal L. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für den Rest vielen Dank. smile

smile

06.01.2010, 19:43

Iorek

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{-1-KL}} \end{eqnarray*}$ ?

06.01.2010, 19:51

Bahlsen

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Zitat:

Original von Iorek
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{-1-KL}} \end{eqnarray*}$ ?

Genau. Allerdings weiß ich nicht genau, wie ich da vorgehen soll.

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06.01.2010, 19:53

Iorek

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Ich würde da eine Fallunterscheidung machen. Welche Fälle können denn auftreten, die von Interesse sind bei $\begin{eqnarray*} -1-KL \end{eqnarray*}$ ? Mir fallen spontan 3 ein Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.01.2010, 21:05

Bahlsen

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Zitat:

Original von Iorek
Ich würde da eine Fallunterscheidung machen. Welche Fälle können denn auftreten, die von Interesse sind bei $\begin{eqnarray*} -1-KL \end{eqnarray*}$ ? Mir fallen spontan 3 ein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich fürchte, mir fallen drei weniger ein. ^^'

Die Zeit ist leider etwas knapp, könntest du es nicht vielleicht vorrechnen? Dann weiß ich es immerhin fürs nächste Mal. smile

smile

06.01.2010, 21:11

Iorek

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Naja, du hast $\begin{eqnarray*} K,\ L \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , also kann das Produkt von denen positiv oder negativ sein. Damit kann -1-KL größer 0, gleich 0 oder kleiner null sein.

06.01.2010, 22:09

Bahlsen

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OK, und jetzt? ^^' Es sollen ja die ersten beiden Ableitungen gebildet werden, und da weiß ich nicht, wie ich das rechnen soll.

06.01.2010, 22:14

Iorek

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Angenommen K*L=-1, dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{-1-(-1)}}=\frac{1}{x^0} \end{eqnarray*}$ , wie sieht davon die erste Ableitung aus?

06.01.2010, 23:12

Bahlsen

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Zitat:

Original von Iorek
Angenommen K*L=-1, dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{-1-(-1)}}=\frac{1}{x^0} \end{eqnarray*}$ , wie sieht davon die erste Ableitung aus?

Puh... Bin wirklich aufgeschmissen. Deine Versuche in allen Ehren, aber ich fürchte, das würde heute nichts mehr mit mir...

06.01.2010, 23:16

Iorek

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} 1^0,\ 2^0,\ 3^0,\ ...\ ,x^0 \end{eqnarray*}$ ?

06.01.2010, 23:41

Bahlsen

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Zitat:

Original von Iorek
Was ist denn $\begin{eqnarray*} 1^0,\ 2^0,\ 3^0,\ ...\ ,x^0 \end{eqnarray*}$ ?

1? Also 1 / 1, also 1?

06.01.2010, 23:43

Iorek

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Genau, also können wir für KL=-1 sagen $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x^{-1-(-1)}}=\frac{1}{1}=1 \end{eqnarray*}$ , und f(x)=1 abgeleitet ergibt was?

Edit: Da ich nicht weiß wie lang ich noch online sein werde, noch 2 Tipps zu den anderen beiden Fällen.

Angenommen $\begin{eqnarray*} K\cdot L \geq 0 \Rightarrow -K\cdot L \leq 0 \Rightarrow -1-K\cdot L < 0 \end{eqnarray*}$ , also haben wir im Nenner x mit einem negativen Exponenten stehen.

$\begin{eqnarray*} K\cdot L=-1 \end{eqnarray*}$ haben wir schon untersucht, bleibt noch übrig $\begin{eqnarray*} K\cdot L \leq -2 \Rightarrow -K\cdot L \geq 2 \Rightarrow -1-K\cdot L > 0 \end{eqnarray*}$ , also haben wir im Nenner x mit einem positiven Exponenten.

06.01.2010, 23:53

Bahlsen

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Allerdings kann ich mich daran erinnern, dass ich eine ähnliche Aufgabe gesehen habe, die nur ein Ergebnis hatte, und das (soweit ich mich erinnern kann) ohne Fallunterscheidung.

Würdest du alle Fälle hinschreiben? Oder kann man das verkürzen?

06.01.2010, 23:59

Iorek

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Mir ist grad eine einfachere Möglichkeit eingefallen...hab den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen.

Wende einfach mal $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}=a^{-1} \end{eqnarray*}$ darauf an, falls es nicht in einem Schritt geht, kannst du das davor auch noch mit $\begin{eqnarray*} a^{b+c}=a^b \cdot a^c \end{eqnarray*}$ auseinander ziehen, damit kommt man auch zum richtigen Ergebnis und braucht noch nichtmal eine Fallunterscheidung (warum ist mir das nicht früher aufgefallen? verwirrt

verwirrt

)

07.01.2010, 00:10

Bahlsen

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Wäre das dann nicht f(x) = x^(-KL) (laut erstem Gesetz)?

07.01.2010, 00:14

Bahlsen

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Wie gesagt, deine Bemühungen in allen Ehren, aber ich muss nun offline gehen und weiß nicht, wann ich es wieder schaffe, online zu kommen. Ich glaube, es wäre hilfreicher, wenn ich mir zuerst das Ergebnis ansähe und mir dann Gedanken machte, wie man darauf kommen kann. Ansonsten werden wir hier noch am Sankt-Nimmerleins-Tag diskutieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.01.2010, 09:11

Iorek

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Formen wir uns das ganze mal um. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{-1-KL}}=\frac{1}{x^{-1}}\cdot \frac{1}{x^{-KL}}=x^1 \cdot x^{KL}=x^{1+KL} \end{eqnarray*}$ , davon sollte Ableitung jetzt einfach zu bestimmen sein smile

smile

07.01.2010, 09:27

Airblader

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Das Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} a^{-n} = \frac{1}{a^n} \end{eqnarray*}$ hätte das übrigens auch sofort geliefert - da muss man nicht erst irgendwelche Exponenten auseinanderziehen und wieder zusammenbasteln ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{-1-KL}} = x^{-(-1-KL)} = x^{1+KL} \end{eqnarray*}$

(Und das war mit dem mittleren Schritt auch noch ausführlich).
Da Bahlsen nun ja genug mitgearbeitet hat, durch die Fallunterscheidung wohl Verwirrung aufkam und die Lösung nun ja nicht mehr fern ist:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{x^{-1-KL}}\right)' = \left(x^{1+KL}\right)' = (1+KL)x^{KL} \end{eqnarray*}$

air

07.01.2010, 13:19

Iorek

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Das Auseinanderziehen habe ich auch nur der Übersicht wegen gemacht, die 2 Schritte hätte ich auch weglassen können. Und ja, die Fallunterscheidung nehme ich auf meine Kappe, kann daher kommen dass ich gestern einige Betrags(un)gleichungen gelöst habe.

07.01.2010, 18:40

Bahlsen

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Hab's doch noch geschafft, online zu kommen. Vielen Dank für die Lösung, darauf wäre ich wahrscheinlich in zehn Jahren nicht gekommen.

Gehe ich dann also recht in der Annahme, dass die beiden ersten Ableitungen wie folgt aussehen:

f'(x) = (1)KL ^ 1/2 + KL (oder 1/2 KL?)

f''(x) = 1/2 KL ^ -(1/2) + KL (oder -(1/2)KL?)

07.01.2010, 18:43

Iorek

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Die erste Ableitung hat Airblader ja schon hingeschrieben, wie kommst du denn auf deine? verwirrt

verwirrt

07.01.2010, 19:24

Bahlsen

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Zitat:

Original von Iorek
Die erste Ableitung hat Airblader ja schon hingeschrieben, wie kommst du denn auf deine? verwirrt

verwirrt

Letzteres frage ich mich auch gerade... Dann müsste f''(x) sein:

f''(x) = 1 + KL^2

Denn das KL, was wie eine 1 ist, müsste doch dann weg?!

07.01.2010, 19:27

Iorek

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Ich seh in deinen Ableitungen kein x mehr, daher können die nicht richtig sein.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(1+KL)x^{KL} \end{eqnarray*}$ , damit jetzt weiter ableiten. Da K,L ja ganze Zahlen sind, geht das Ableiten genauso wie bei z.B. $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ smile

smile

07.01.2010, 19:29

Bahlsen

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Zitat:

Original von Iorek
$\begin{eqnarray*} f'(x)=(1+KL)x^{KL} \end{eqnarray*}$ , damit jetzt weiter ableiten. Da K,L ja ganze Zahlen sind, geht das Ableiten genauso wie bei z.B. $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ smile

smile

Dann muss ich doch (1 + KL) * KL rechnen?! Also f''(x) = "(1 + KL^2)x"?

07.01.2010, 19:33

Iorek

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Fast richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

wenn du KL*(1+KL) rechnest, musst du das natürlich mit jedem Summanden in der Klammer multiplizieren, also KL(1+KL=1*KL+KL*KL. Und den Exponenten von x müssen wir auch noch stehen lassen; wir wissen nicht wie groß KL ist, also schreiben wir als neuen Exponenten einfach (KL-1)

07.01.2010, 19:35

Bahlsen

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Also ist es:

f''(x) = (KL + KL^2)x^KL-1

?

07.01.2010, 19:40

Iorek

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Ganz genau Freude

Freude

07.01.2010, 19:47

Bahlsen

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Okay, danke. Somit fehlen mir nur noch d) und f). Bei Ersterem weiß ich nicht, wie ich die 5 unterbringen soll und beim Letzterem habe ich ja schon etwas gerechnet. Wie sieht's da aus?

07.01.2010, 19:49

Iorek

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Bei der d) könntest du wieder ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2}{5} \cdot \sqrt{x}=\frac{2}{5} \cdot x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ ist.

07.01.2010, 20:02

Bahlsen

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Also:

f'(x) = 1/5 * x ^ - (1/2)

und

f''(x) = - (1/10) x ^ - (3/2)

?

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