Modus, Verteilung auf nicht negativen Zahlen

06.01.2010, 21:09	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Modus, Verteilung auf nicht negativen Zahlen Hallo Leute, ich suche eine Wahrscheinlichkeitsdichte (parametrisiert) auf den positiven reellen Zahlen die zu einem vorgegebenen Wert $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ den Modus in $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ annimmt. Wichtig ist dass sie eine "gaussische" Form hat und man die Breite einstellen kann. Maschinell berechenbar sollte sie auch sein. Zunächst hatte ich an die Gammaverteilung gedacht. Sind p und b die Parameter dann ist der Modus $\begin{eqnarray} \frac{p - 1}{b} \end{eqnarray}$ für p > 1. Für festes $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ lässt sich dann schreiben : $\begin{eqnarray} b = t, p = tx_0 + 1 \text{ für } t > 0 \end{eqnarray}$ Wird t nun groß, so ist die Verteilung eng um x_0. Das Problem , für große t kann ich die Dichte nicht mehr maschinell auswerten. Ich brauche aber gerade die tatsache das sie eng wird. Man könnte natürlich die Dichte verschieben, nur hab ich dann keine Verteilung auf $\begin{eqnarray} [0,\infty) \end{eqnarray}$ mehr, was ich auch brauche. Zum Hintergrund : Ich habe eine Funktion $\begin{eqnarray} f(X,\phi_1,\phi_2,...,\phi_n) = L(X,\phi_1,...,\phi_n)p_1(\phi_1)...p_n(\phi_n) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \phi_i \in [0,\infty) \end{eqnarray}$ und die $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray*}$ Wahrscheinlichkeitsdichten sind. Die Funktion f soll differenzierbar bleiben (wegen Optimierung), die Funktion L ist differenzierbar und besitzt ein Maximum. Von daher fallen unstetige Dichten schonmal weg. Man könnte natürlich einfach eine Gaussdichte nehmen und den Negativteil abschneiden, aber dann ist die Ergebnisfunktion keine Wahrscheinlichkeitsdichte mehr. Ich werds auch erstmal so machen, aber vielleicht fällt ja jemandem eine bessere Lösung ein.
07.01.2010, 18:11	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modus, Verteilung auf nicht negativen Zahlen Als erstes hab ich keine Ahnnung von maschineller Auswertung oder was ein Modus sein soll, aber hoffentlich helfen meine Tipps dennoch: I) Verteilungen oder Dichten, die eventuell geeignet sein können: 1) Lognormalverteilt 2) Weibull-Verteilung II) Falls man eine Dichte $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \to \mathbb R^+ \end{eqnarray}$ hat, aber eine ähnliche Dichte $\begin{eqnarray} f:\mathbb R^+ \to \mathbb R^+ \end{eqnarray}$ haben möchte, so kann man häufig die Dichte $\begin{eqnarray} g(x) = \frac {f(x)} {1 - \int_{-\infty}^{0} f(x) dx} = \frac{f(x)} {1-F(0)} \end{eqnarray}$ verwenden. Denn es gilt: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty} g(x) dx = \frac{\int_{0}^{\infty} f(x) dx} {1-F(0)}=1 \end{eqnarray}$ und g ist stetig, falls f stetig ist.
07.01.2010, 19:38	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lognormalverteilung sieht sehr gut aus. Bei der Weibullverteilung bekäme ich ein ähnliches Problem wie bei der Gammaverteilung, wenn die Parameter an die Dichte zu groß werden. Aber die Lognormalverteilung sollte es tun. Vielen dank!

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