polstelle gebrochen rationale funktion

06.01.2010, 22:21

20saint

polstelle gebrochen rationale funktion

moin. hab gestern eine aufgabe vom prof bekommen und zwar folgende:
y=Zähler=x^4-1
Nenner=x^2+2x+1
Nun sollte ich Polstelle und nullstelle bereichen. das hab ich wie folgt gemacht:

Nullstelle:
x^4=1 also grob gesagt x=+1 und x=-1

Polstelle: x^2+2x+1=0 dann bekomm ich laut pq-formel x=-1

in unserem skript steht das ich eine polstelle hab wenn nenner =0 ist und zähler ungleich 0 ist. wenn ich -1 jetzt in meinen zähler einsetze dann ist das jedoch eins also hab ich mir gedacht das ich dort keine polstelle hab was leider nicht so war. nun meine frage: warum gibts dort doch eine polstelle bei x=-1? weil ich dort eine difinitionslücke hab oder warum?

06.01.2010, 22:27

saint20

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nullstelle ist nur x=1 weil man bei x=-1 ja eine definitionslücke hat richtigt?

06.01.2010, 22:37

Dorika

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Hey,

ja genau.

Bei einer Polstelle wird nur der Nenner =0.

Bei einer hebbaren Definitionslücke werden Zähler und Nenner =0

Daher hast du, wie du ja bereits sagtest, bei x=1 eine Nullstelle und bei X=-1 eine hebbare Definitionslücke.

lg smile

06.01.2010, 22:39

outSchool

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$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^4-1}{x^2+2x+1} = \frac{(x^2+1)(x+1)(x-1)}{(x+1)^2} = \frac{(x^2+1)(x-1)}{(x+1)} \end{eqnarray*}$

In der Form ist jetzt für x = -1 der Zähler ungleich 0 und der Nenner = 0.

06.01.2010, 22:41

saint20

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aber die antwort ist ja es gibt bei x=-1 einen pol aber warum? mein zähler wird ja dann 0 wenn ich x=-1 einsetze. aber bei uns im skript steht das ich nur eine polstelle hab wenn zähler ungleich 0 ist. versteh das nicht

06.01.2010, 22:43

corvus

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RE: polstelle gebrochen rationale funktion

Zitat:

Original von 20saint

y=Zähler=x^4-1
Nenner=x^2+2x+1
Nun sollte ich Polstelle und nullstelle bereichen. das hab ich wie folgt gemacht:

nullstelle ist nur x=1 weil man bei x=-1 ja eine definitionslücke hat richtigt?

$\begin{eqnarray*} y = \frac{ x^{4} - 1 }{ (x+1)^{2} } \end{eqnarray*}$

nullstelle ist nur bei x=1 <--- richtig !

aber überlege weiter: was passiert nun wirklich an der Stelle x= - 1 ?

PS:
Dorika irrt sich hier mit:
" und bei X=-1 eine hebbare Definitionslücke." geschockt

06.01.2010, 22:44

mYthos

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Wenn sich Zähler und Nenner durch denselben Linearfaktor kürzen lassen, dann kann die Nullstelle dieses Faktors auch eine Definitionslücke sein. Sie ist es definitiv dann, wenn der gleiche Linearfaktor nicht nochmals im Nenner vorkommt.

In dieser Aufgabe beinhaltet allerdings der Nenner diesen Faktor noch einmal, indessen er im Zähler nach dem Kürzen nicht mehr aufscheint. Somit ist dessen Nullstelle eine Polstelle.

mY+

06.01.2010, 22:44

outSchool

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..., weil im Nenner die Nullstelle doppelt vorkommt und einmal gekürzt werden kann (hebbare Definitionslücke).

06.01.2010, 22:54

saint20

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hm nagut das werd ich erstmal so aufnehmen. danke für eure hilfe!!

06.01.2010, 22:56

corvus

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Zitat:

Original von outSchool
..., weil im Nenner die Nullstelle doppelt vorkommt
und einmal gekürzt werden kann (hebbare Definitionslücke).

na ja .. hier passt aber "hebbare Definitionslücke" nicht..

argumentiere so:
für alle x ungleich - 1 stimmen die beiden folgenden Terme überein:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^4-1}{x^2+2x+1} \end{eqnarray*}$ .. und .. $\begin{eqnarray*} \frac{(x^2+1)(x-1)}{(x+1)} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{(x^2+1)(x-1)}{(x+1)} \end{eqnarray*}$ hat eben bei x= - 1 eine Polstelle

smile

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