Isolierte Singularität

06.01.2010, 22:21

eierkopf1

Isolierte Singularität

Hallo!

Folgendes Bsp:
Man soll die isolierte Singularität klassifizieren.
$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{z^2}{\sin z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_0=0 \end{eqnarray*}$

Was ich bis jetzt versucht habe:

Der Grenzwert existiert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{z\to 0}\frac{z^2}{\sin z} = \lim_{z\to 0}\frac{2z}{\cos z}=0 \end{eqnarray*}$

Also ist die Singularität behebar.

Stimmt das so? Bzw. kann man das schöner (ohne de l'Hospital) zeigen?

06.01.2010, 23:12

eierkopf1

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RE: Isolierte Singularität
Zweites Bsp:

$\begin{eqnarray*} f(z) = e^{\sin{ \frac 1 z}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_0 = 0 \end{eqnarray*}$

Ich habs so versucht:

Angenommen, dass die Singularität behebbar oder eine Polstelle ist. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} m>=0 \end{eqnarray*}$ , so dass die Singularität von $\begin{eqnarray*} g(z) := z^m e^{\sin{ \frac 1 z}} \end{eqnarray*}$ behebbar wäre.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ könnte dann an $\begin{eqnarray*} g(0) := \lim_{z \to 0}z^m e^{\sin{ \frac 1 z}} \end{eqnarray*}$ fortgesetzt werden.

Weiter komme ich nicht. Kann man da weiter mit dem Identitätssatz für Potenzreihen argumentieren? Wie?

10.01.2010, 18:20

stereo

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RE: Isolierte Singularität

Zitat:

Original von eierkopf1
Hallo!

Folgendes Bsp:
Man soll die isolierte Singularität klassifizieren.
$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{z^2}{\sin z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_0=0 \end{eqnarray*}$

Was ich bis jetzt versucht habe:

Der Grenzwert existiert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{z\to 0}\frac{z^2}{\sin z} = \lim_{z\to 0}\frac{2z}{\cos z}=0 \end{eqnarray*}$

Also ist die Singularität behebar.

Stimmt das so? Bzw. kann man das schöner (ohne de l'Hospital) zeigen?

Ist das so korrekt?

Ich bearbeite eine ähnliche Aufgabe gerade.

10.01.2010, 18:31

eierkopf1

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RE: Isolierte Singularität
Es gibt ein Lemma: Falls die Nullstelle bei $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ des Zählers die Ordnung $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und die des Nenners die Ordnung $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ hat. Dann gilt für $\begin{eqnarray*} m<k \end{eqnarray*}$ , dass die isolierte Singularität hebbar ist.

Wie das mit de l'Hospital aussieht, weiß ich nicht. Vielleicht weiß jemand noch was dazu.

10.01.2010, 18:36

stereo

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Du zeigst hier, dass die isolierte Singularität nicht wesentlich ist.

Würde ich sagen smile

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Isolierte Singularität

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