Wurzelrechnung suche nach der Lösung mit Anleitung

07.01.2010, 14:35

Anaconda55

Wurzelrechnung suche nach der Lösung mit Anleitung

Hallo habe noch eine Aufgabe vor mir von der ich nicht weis wie diese gelöst worden ist.

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{1 - \frac{a^{2}}{1 + a^{2} }})^{-1} \end{eqnarray*}$

Der erste Schritt ist folgender:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{1 + a^{2} - a^{2}}{1 + a^{2} }})^{-1} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich zu diesem? Was wurde gemacht und nach welchen Regeln?

07.01.2010, 14:37

Kääsee

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$\begin{eqnarray*} 1=\frac{1+a²}{1+a²} \end{eqnarray*}$
Wink

07.01.2010, 14:58

Anaconda55

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Okay.
Ich bin davon ausgegangen das ein ganzes 1/1 ist. Aus welchen gründen auch immer.

Die ganze Aufgabe sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{1 - \frac{a^{2}}{1 + a^{2} }})^{-1} \cdot \frac{\sqrt{1 + a^{2}} - \frac{a^{2}}{\sqrt{1 + a^{2} }} }{1 + a^{2} } \end{eqnarray*}$

Dann ist folgendes passiert:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{1 + a^{2} - a^{2}}{1 + a^{2} }})^{-1} \cdot \frac{1 + a^{2} - a^{2}}{\sqrt{1 + a^{2}}} : (1 + a^{2}) \end{eqnarray*}$

Was ist mit der Wurzel auf der rechten Seite passiert? Welche Regel gibt es das man diese auflösen darf?

07.01.2010, 15:01

klarsoweit

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Erweitere den 2. Bruch mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{1 + a^{2}} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

07.01.2010, 15:14

Anaconda55

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Wieso erweitern? Versteh ich nicht oder noch immer nicht ...
Die Wurzel wurde doch aufgelöst?

07.01.2010, 15:18

Kääsee

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$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1 + a^{2}} - \frac{a^{2}}{\sqrt{1 + a^{2} }} }{1 + a^{2} } \end{eqnarray*}$

erweiter das doch mal und schau, was rauskommt (:

07.01.2010, 17:11

Anaconda55

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Zitat:

Original von Kääsee
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1 + a^{2}} - \frac{a^{2}}{\sqrt{1 + a^{2} }} }{1 + a^{2} } \end{eqnarray*}$

erweiter das doch mal und schau, was rauskommt (:

Wenn das so einfach wäre. Weis jetzt ehrlich gesagt nicht wie ich anfangen soll ...

07.01.2010, 18:02

klarsoweit

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Wo ist das Problem? Schreibe:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1 + a^2} - \frac{a^2}{\sqrt{1 + a^2}} }{1 + a^2} = \frac{\sqrt{1 + a^2} \cdot (\sqrt{1 + a^2} - \frac{a^2}{\sqrt{1 + a^2 }})}{\sqrt{1 + a^2} \cdot (1 + a^2) } \end{eqnarray*}$

Und jetzt mußt du nur im Zähler die Klammer auflösen.

08.01.2010, 11:35

Anaconda55

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Bin gerade am versuchen, darf man denn hier den Wurzelexponenten kürzen?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1^{2} + a^{4}} \end{eqnarray*}$

in

$\begin{eqnarray*} 1 + a^{2} \end{eqnarray*}$

08.01.2010, 11:53

klarsoweit

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Nein. Bei Unsicherheiten einfach mal ein paar Werte testen. Setze a=1 und deine Frage ist beantwortet. Augenzwinkern

08.01.2010, 11:57

Anaconda55

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Ich habe versucht die Klammer des Zählers aufzulösen

bin danna uf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{1 + a^{2}})^{2} - a^{2} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

08.01.2010, 12:05

klarsoweit

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Ja. Aber du wirst dann doch hoffentlich nicht im nächsten Schritt $\begin{eqnarray*} (\sqrt{a + b})^2 = \sqrt{a^2 + b^2} \end{eqnarray*}$ gerechnet haben?

Was kommt denn raus, wenn man einen Wurzelausdruck quadriert?

08.01.2010, 12:10

Anaconda55

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Zitat:

Original von klarsoweit
Ja. Aber du wirst dann doch hoffentlich nicht im nächsten Schritt $\begin{eqnarray*} (\sqrt{a + b})^2 = \sqrt{a^2 + b^2} \end{eqnarray*}$ gerechnet haben?

Doch das war mein erster Gedanke, das es falsch ist weis ich nun.

Zitat:

Original von klarsoweit
Was kommt denn raus, wenn man einen Wurzelausdruck quadriert?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a + b} \cdot \sqrt{a + b} \end{eqnarray*}$

08.01.2010, 12:37

klarsoweit

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Und was ist das? Wie ist denn die Wurzel definiert?

Und wenn das alles nicht hilft, was ist
a) $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \cdot \sqrt{4} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \sqrt{25} \cdot \sqrt{25} \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \sqrt{1234567} \cdot \sqrt{1234567} \end{eqnarray*}$
?

08.01.2010, 12:58

Anaconda55

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Zitat:

Original von klarsoweit
Und was ist das? Wie ist denn die Wurzel definiert?

Und wenn das alles nicht hilft, was ist

Zitat:

Original von klarsoweit
a) $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \cdot \sqrt{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{16} = 4 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von klarsoweit
b) $\begin{eqnarray*} \sqrt{25} \cdot \sqrt{25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{625} = 25 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von klarsoweit
c) $\begin{eqnarray*} \sqrt{1234567} \cdot \sqrt{1234567} \end{eqnarray*}$
?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1524155677489} = 1234567 \end{eqnarray*}$

Jetzt hat es schonmal klick gemacht ...

D.h. das

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{a + b})^2 = \sqrt{a + b} \cdot \sqrt{a + b} = a + b \end{eqnarray*}$

und zu der Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{1 + a^{2}})^{2} - a^{2} = 1 + a^{2} - a^{2} \end{eqnarray*}$

dann wäre der Zähler fertig...

Zum Nenner hab ich noch Probleme:

Wie geht man hier vor?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1 + a^2} \cdot (1 + a^2) \end{eqnarray*}$

08.01.2010, 13:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von Anaconda55
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1524155677489} = 1234567 \end{eqnarray*}$

Jetzt hat es schonmal klick gemacht ...

Hoffentlich so laut, daß du beim nächsten Mal nicht die Produkte ausmultiplizierst. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Anaconda55
Zum Nenner hab ich noch Probleme:

Wie geht man hier vor?

Den läßt man erstmal so stehen. Da war doch noch ein Ausdruck vor dem Bruch gestanden, nämlich:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{1 + a^{2} - a^{2}}{1 + a^{2} }})^{-1} \end{eqnarray*}$

Den solltest du auch mal etwas umformen, vor allem so, daß da das "hoch -1" wegfällt.

11.01.2010, 09:23

Anaconda55

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Hallo,

also ich habe ja die Lösung zu dieser Aufgabe nur weis ich nicht was zwischen den Schritten passiert ist. Hier wird aber der Zweite Bruch gleich komplett so aufgelöst.

Ich möchte schon auf den gleichen Stand kommen aber wie mache ich das mit dieser zweiten Seite?

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{1 + a^{2} - a^{2}}{1 + a^{2} }})^{-1} \cdot \frac{1 + a^{2} - a^{2}}{\sqrt{1 + a^{2}}} : (1 + a^{2}) \end{eqnarray*}$

11.01.2010, 09:33

klarsoweit

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Verstehe jetzt die Frage nicht. Welcher Umformungsschritt ist noch unklar?

11.01.2010, 09:42

Anaconda55

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Der rechte Bruch da wo aus dem Nenner
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1 + a^2} \cdot (1 + a^2) \end{eqnarray*}$

das hier wird:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1 + a^{2} } : (1 + a^{2}) \end{eqnarray*}$

11.01.2010, 09:45

Anaconda55

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Die Linke Seite hab ich jetzt aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{1 + a^{2} - a^{2}}{1 + a^{2} }})^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 + a^{2 -\frac{1}{2} \cdot -1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 + a^{2 \frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1 + a^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 + a^{2} \end{eqnarray*}$

Der Rechenweg ist so richtig?

11.01.2010, 10:17

klarsoweit

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Also fassen wir mal zusammen. Wir hatten:

Zitat:

Original von Anaconda55
Die ganze Aufgabe sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{1 - \frac{a^{2}}{1 + a^{2} }})^{-1} \cdot \frac{\sqrt{1 + a^{2}} - \frac{a^{2}}{\sqrt{1 + a^{2} }} }{1 + a^{2} } \end{eqnarray*}$

Aus dem ersten Faktor machen wir:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{1 - \frac{a^2}{1 + a^2}})^{-1} = \left(\sqrt{\frac{1+a^2 - a^2}{1 + a^2}} \right)^{-1} = \left(\sqrt{\frac{1}{1 + a^2}} \right)^{-1} \end{eqnarray*}$

Deine weiteren Umformungen kann ich nicht nachvollziehen.

Aus dem zweiten Faktor machen wir:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1 + a^2} - \frac{a^2}{\sqrt{1 + a^2}} }{1 + a^2} = \frac{1 + a^2 - a^2}{\sqrt{1+a^2} \cdot (1 + a^2)} = \frac{1}{\sqrt{1+a^2} \cdot (1 + a^2)} \end{eqnarray*}$

Alles klar?

11.01.2010, 10:23

Anaconda55

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Zitat:

Original von klarsoweit

Deine weiteren Umformungen kann ich nicht nachvollziehen.

Wie würdest Du das denn dann umformen?

Und darf man aus dem Nenner einfach folgendes machen?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1+a^2} \cdot (1 + a^2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} : (1 + a^2) \end{eqnarray*}$

11.01.2010, 11:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von Anaconda55
Wie würdest Du das denn dann umformen?

Regelkonform. Augenzwinkern

Es ist $\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{\frac{1}{1 + a^2}} \right)^{-1} = \left(\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} \right)^{-1} \end{eqnarray*}$

Und was muß man tun, wenn man einen Bruch "hoch -1" nimmt?

Zitat:

Original von Anaconda55
Und darf man aus dem Nenner einfach folgendes machen?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1+a^2} \cdot (1 + a^2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} : (1 + a^2) \end{eqnarray*}$

Ja, es gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1+a^2} \cdot (1 + a^2)} = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} : (1 + a^2) \end{eqnarray*}$

Aber da formt man nicht einen Nenner um, sondern einen Bruch.

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