Nichtlineare Optimierung - Lagrange Multiplikatoren

07.01.2010, 15:50

Franziii

Nichtlineare Optimierung - Lagrange Multiplikatoren

Ich habe folgendes nicht-lineares Optimierungsproblem:

Minimum $\begin{eqnarray*} Ax^2 + By^2 + Cz^2 + 2yz + 2xz + 2xy \end{eqnarray*}$
Nebenbedingung: $\begin{eqnarray*} x + y + z = 1 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} A,B,C > 1 \end{eqnarray*}$

Mit welchen Methoden löse ich dieses Problem?
Habs mit Kuhn-Tucker versucht aber komme irgendwie nicht voran.
Über einen lösungsweg würd ich mich freun.
Franziii

07.01.2010, 15:55

Franziii

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ich vergaß: A, B, C sollen konstante sein.

07.01.2010, 17:58

Mystic

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Aber der Lösungsweg ist doch klar vorgegeben:

1. Aufstellen der Lagrangefunktionm.
2. Bilden aller ihrer partiellen Ableitungen.
3. Lösen des Gleichungssystems, dass man durch deren Nullsetzen erhält.

Wenn du das gemacht oder zumindestens probiert hast, können wir dann weiterreden...

07.01.2010, 18:48

Franziii

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So ich habe folgendes ausgetüftelt:

Lagrange funktion:
$\begin{eqnarray*} Ax^2 + By^2 + Cz^2 + 2yz + 2xz + 2xy + \lambda (x + y + z - 1) \end{eqnarray*}$

Bei den Ableitungen bin ich mir nicht ganz sicher.
$\begin{eqnarray*} \frac{\gamma }{\gamma x}: 2Ax + 2z + 2y + \lambda = 0 \frac{\gamma }{\gamma y}: 2By + 2z + 2x + \lambda = 0 \frac{\gamma }{\gamma z}: 2Cz + 2y + 2x + \lambda = 0 \end{eqnarray*}$
mit der Nebenbedingung:
$\begin{eqnarray*} \lambda ( x + y + z - 1 ) = 0 \end{eqnarray*}$

Wie löse ich das nun weiter? (Muss ich mir nen paar variablen nehmen und denen einen Wert zuweisen? z.B. x,y,z = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .
Und A,B,C sollen ja größer als 1 sein und da ich minimiere, würde ich die alle auf den geringstmöglichen Punkt setzen: A,B,C = 2.
Dann wäre z = $\begin{eqnarray*} 1 \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ? )

Franziii

07.01.2010, 19:16

Mystic

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Nein, nicht einfach willkürliche Werte einsetzen, sondern das GlS nach den 4 Variablen auflösen... Übrigens ergibt die letzte partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gerade die NB, dass x+y+z-1=0 ist, das hast du falsch angegeben...

Dass Auflösen von solchen nichtlinearen GlS ist immer ein wenig tricky... Ich würde z.B. zu Beginn mal die Differenzen aus 1. und 2., 1. und 3., sowie 2. und 3. Gleichung bilden und schaun was dabei rauskommtr... Auch könntest die Summe aus 1., 2. und 3. Gleichung bilden und die NB zum vereinfachen verwenden... Nur eines sollte man im Normalfall nicht machen, nämlich substituieren, oder nur als aller-, allerletzten Ausweg...

08.01.2010, 00:33

Franziii

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das mit dem nicht substituieren muss ich mir auf jeden fall merken.
Wir haben nun also folgende Gleichungen:

(1): $\begin{eqnarray*} 2Ax + 2z + 2y + \lambda = 0 \end{eqnarray*}$
(2): $\begin{eqnarray*} 2By + 2z + 2x + \lambda = 0 \end{eqnarray*}$
(3): $\begin{eqnarray*} 2Cz + 2y + 2x + \lambda = 0 \end{eqnarray*}$

Ich habe sie folgendermaßen gleichgesetzt:

(1) und (2): $\begin{eqnarray*} Ax = By \end{eqnarray*}$
(2) und (3): $\begin{eqnarray*} By = Cz \end{eqnarray*}$
(3) und (1): $\begin{eqnarray*} Cz = Ax \end{eqnarray*}$

dann ist also Ax = By = Cz.

und $\begin{eqnarray*} x + y + z - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Aber wie bekomme ich nun die werte für die einzelnen variablen und konstanten raus?

Kann ich $\begin{eqnarray*} Ax = By = Cz \end{eqnarray*}$ in die zwei Gleichungen $\begin{eqnarray*} A = B = C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = y = z \end{eqnarray*}$ aufteilen? Und dann?

Franziii

08.01.2010, 10:56

Mystic

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Tja, wenn du nicht einmal einfachste Rechnungen von der Art

$\begin{eqnarray*} 2Ax+2z+2y+\lambda= 2By+2z+2x+\lambda \Rightarrow (A-1)x=(B-1)y \end{eqnarray*}$

durchführen kannst, sondern sogar dreimal (!!!) denselben blöden Fehler machst, so fürchte ich, kann ich dir dann auch nicht mehr helfen... unglücklich

Ja, und wenn dann noch so Vorschläge kommen wie

Zitat:

Original von Franziii
Kann ich $\begin{eqnarray*} Ax = By = Cz \end{eqnarray*}$ in die zwei Gleichungen $\begin{eqnarray*} A = B = C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = y = z \end{eqnarray*}$ aufteilen? Und dann?
Franziii

dann fragt man sich echt, will mich da jemand verar...en oder meint er das ernst... verwirrt

In jedem Fall ist es dann wohl Zeit sich aus dem Staub zu machen... Wink

08.01.2010, 14:16

Franziii

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Ich habe noch nie mit Konstanten gerechnet, das war das Problem...

Ich hab die anderen Gleichungen umgeformt und vereinfacht, so dass ich das habe:

(1) und (2): $\begin{eqnarray*} 2Ax + 2z + 2y + \lambda = 2By + 2z + 2x + \lambda \Rightarrow (A - 1) x = (B - 1) y \end{eqnarray*}$
(2) und (3): $\begin{eqnarray*} 2By + 2z + 2x + \lambda = 2Cz + 2y + 2x + \lambda \Rightarrow (B - 1) y = (C - 1) z \end{eqnarray*}$
(3) und (1): $\begin{eqnarray*} 2Cz + 2y + 2x + \lambda = 2Ax + 2z + 2y + \lambda \Rightarrow (C - 1) z = (A - 1) x \end{eqnarray*}$

Dann haben wir
$\begin{eqnarray*} (A - 1) x = (B - 1) y = (C - 1) z \end{eqnarray*}$

Was muss ich nun tun Werte für A,B,C und x,y,z zu erlangen?

Franziii

16.01.2010, 04:11

Franziii

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hat keiner sonst ne idee?

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