Paar Stochastik Aufgaben

07.01.2010, 16:56

eey

Paar Stochastik Aufgaben

Hallo hab hier ein paar Aufgaben die ich nicht so ganz verstehe/mir nicht sicher bin ob ich sie richtig gerechnet habe:

2. Bei einer Prüfung wird ein sog. MultipleChoiceTest mit 10 Fragen verwendet. Es stehen für jede Frage drei Antworten zur Auswahl, von denen genau eine richtig ist. Die Prüfung gilt als bestanden, wenn mindestens 6 Fragen richtig beantwortet werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein völlig unvorbereiteter Prüfling besteht?

Also man muss ja mindestens 6 Fragen richtig beantworten um zu bestehen, also besteht man mit 6, 7, 8, 9 oder 10 richtig beantworteten Fragen. Deshalb hab ich einfach die Wahrscheinlichkeiten dafür zusammengezählt:

$\begin{eqnarray*} ( \frac{1}{3} )^6\cdot(\frac{2}{3})^4+(\frac{1}{3})^7\cdot(\frac{2}{3})^3+(\frac{1}{3})^8\cdot(\frac{2}{3})^2+(\frac{1}{3})^9\cdot(\frac{2}{3})^1+(\frac{1}{3})^{10}\cdot(\frac{2}{3})^0=\frac{31}{59049}=0,00052498=0,052% \end{eqnarray*}$

Stimmt dass so? Denn das kommt mir doch schon ein bisschen sehr wenig vor...

3 a) In einem Bahnhof steht eine Bank mit 10 Plätzen. Dort sitzen 10 Personen, von denen zwei keine gültige Fahrkarte haben (sog. Schwarzfahrer). In wie vielen Fällen sitzen die zwei Schwarzfahrer nebeneinander?

Tja, ich würd sagen in 10 Fällen, oder? Hab hier nicht so ganz den Plan wie ich das genau machen soll...

07.01.2010, 16:59

Iorek

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Ich würde bei der ersten Aufgabe mal das Stichwort Bernoullie-Kette in den Raum werfen wollen... smile

Aber ich bin zurzeit nicht gerade fit in Stochastik, das letzte Mal hab ich das vor 1 1/2 Jahren gemacht, daher wäre es mir recht, wenn ein anderer den Rest übernimmt Augenzwinkern

07.01.2010, 17:55

eey

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hm ok, aber stimmt mein Ergebniss so? Oder muss ich das anders rechnen?

08.01.2010, 08:07

learnmath

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ich würde eher sagen

(1/3)^6 * (6 aus 10)

wäre die richtige lösung

08.01.2010, 08:30

learnmath

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sorry ich mach mir jetz dann nen account^^

also wie ich auf das ergebnis zu eins komme.
hättest du nur 6 aufgaben, mit 3 antwortmöglichkeiten dann wäre es ja

1/3 * 1/3 * 1/3 * 1/3 * 1/3 * 1/3
d.h. (1/3)^6 die wahrscheinlichkeit. nun hast du aber 10 aufgaben zu verfügung, d.h. du musst mit (6 aus 10) multiplizieren.
also (1/3) * (6 aus 10)

zur zwei bin ich mir net ganz sicher aber ich glaube es wäre:

(2! * 8! * 9 )/ 10! = 1/5, da

für diese möglichkeit: ss wwwwwwww
hsat du 2! * 8! möglichkeiten, jetz musst das ss aber an 9 positionen verschieben d.h. der faktor 9 kommt dazu.
Insgesamt haben wir 10! möglichkeiten was unseren Quotienten darstellt.

Ich hoffe ich konnte dir helfen.

08.01.2010, 09:13

eey

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Zitat:

Original von learnmath
sorry ich mach mir jetz dann nen account^^

also wie ich auf das ergebnis zu eins komme.
hättest du nur 6 aufgaben, mit 3 antwortmöglichkeiten dann wäre es ja

1/3 * 1/3 * 1/3 * 1/3 * 1/3 * 1/3
d.h. (1/3)^6 die wahrscheinlichkeit. nun hast du aber 10 aufgaben zu verfügung, d.h. du musst mit (6 aus 10) multiplizieren.
also (1/3) * (6 aus 10)

Aber dann hab ich doch nur die 6 richtigen Aufgaben! Man besteht die Prüfung aber doch natürlich auch mit 7 richtigen Aufgaben, oder 8, 9 oder 10!

Und 1/3 mal (6 aus 10) ist 70. Was soll das für eine Wahrscheinlichkeit sein?

08.01.2010, 09:19

LearnMath

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(1/3)^6 * (6 aus10)

tut mir leid für den tippfehler^^.

ähm nein du hsat dann nicht nur die 6 aufgaben weil für die anderen 4 ist egal was wir wählen --> ne wahrscheinlichkeit von 1 also:

((1/3)^6 *1 *1 *1 *1)*(6 aus 10)

//edit achso mindest sorry.. das wär dann nur: (1/3)^6 *1*1*1*1

08.01.2010, 11:13

eey

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Ach so, so einfach? Also

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{3})^6 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 =0,14% \end{eqnarray*}$

Also die Einser kommen daher dass es egal ist was ich ab der 6ten richtigen Frage ankreuze, richtig?

Mein Problem ist halt noch dass ich nicht weiß wann ich den Binomialkoeffizienten benutzen soll und wann nicht... Hier in dieser Aufgabe mach ich ja einfach nur 1/3 hoch 6 und fertig. Aber wann weiß ich dass ich einen Binomialkoeffizienten brauch?

08.01.2010, 11:19

LearnMath

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nein das ist nicht richitg meine erste lösung war richtig sorry du hattest mich verwirrt
die lösung ist (1/3)^6*(6aus10).

das ist mindestens 6. aufgaben.

Du brauchst (6 aus 10), da wenn du dies weglässt, wäre die wahrscheinlichkeit gleichzusetzen mit

Du hast 6 Aufgaben mit welcher wahrscheinlichkeit sind alle richtig
(6aus10) sagt wie viele möglichkeiten es gibt 10 stellen auf 6 zu verteilen, daher kommt das dazu

08.01.2010, 11:50

eey

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Hä, bist du dir da sicher?

Die Wahrscheinlichkeit dafür wären 28,8 %, das kann doch nicht sein! Dann würde ja ein drittel der Leute die sich gar nicht vorbereiten den Test bestehen, das ist doch viel zu viel.

Und was meinst du mit "(6aus10) sagt wie viele möglichkeiten es gibt 10 stellen auf 6 zu verteilen, daher kommt das dazu "?

Wieso 10 Stellen auf 6 verteilen?? Ich hab doch 3 Antwortmöglichkeiten pro Aufgabe, wieso soll ich 10 auf 6 verteilen???

Also da kam mir das davor ja noch logischer vor und wenn ich mir ein Baumdiagramm vorstelle komm ich auf sowas:

Die Chance ALLE Fragen richtig zu haben ist doch:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{3})^10 \end{eqnarray*}$

oder?

Dann die Chance ALLE BIS AUF EINE, also 9 Fragen richtig zu haben ist ja:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{3})^9+(\frac{2}{3})^1 \end{eqnarray*}$

und so weiter, dann hat man genau mein Ergebniss was ich ganz am Anfang gepostet habe, was stimmt an dieser Betrahtung also nicht? verwirrt

08.01.2010, 12:27

Huggy

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Deine Zweifel an der Antwort von LearnMath sind völlig berechtigt.

Deine ursprüngliche Idee war völlig in Ordnung, aber nicht korrekt durchgeführt. Wenn X die Zahl der korrekten Antworten ist, dann ist gesucht:

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 6)=\sum_{k=6}^{10}~P(X=k) \end{eqnarray*}$

Nur ist

$\begin{eqnarray*} P(X=k)\neq (1/3)^k(2/3)^{10-k} \end{eqnarray*}$

Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} P(X=k)=\binom {10} k (1/3)^k(2/3)^{10-k} \end{eqnarray*}$

Dieses Ergebnis kann durch die kumulative Binomialverteilung ausgedrückt werden. Denn es ist

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 6)=1-P(X\leq 5)=1-B(5;10;1/3) \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} B(k;n;p) \end{eqnarray*}$ die kumulative Binomialverteilung mit

k = Zahl der Erfolge
n = Zahl der Versuche
p = Erfolgswahrscheinlichkeit

Es ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} P \approx 7,7 % \end{eqnarray*}$

08.01.2010, 13:14

LearnMath

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ich verstehe nicht wieso man mit (2/3)^10-k

multipilzieren muss, damit sag ich doch, dass es exakt 6 antworten sein müssen..
da ich fordere das die restlichen 4 antworten falsch sind.. 2/3

ich denke meine lösung is richtig o_O

Bei eurer lösung muss man nämlich 4 falsch haben sonst trifft die wahrscheinlichkeit nicht zu sieht man an dem beispiel de sthread erstellers

(1/3)^10 --> alle richtig.. stimmt

(1/3)^9 + (2/3) --> EINE MUSS falsch sein..

08.01.2010, 14:36

Huggy

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Zitat:

Original von LearnMath
ich verstehe nicht wieso man mit (2/3)^10-k

multipilzieren muss, damit sag ich doch, dass es exakt 6 antworten sein müssen..
da ich fordere das die restlichen 4 antworten falsch sind.. 2/3

ich denke meine lösung is richtig o_O

Bei eurer lösung muss man nämlich 4 falsch haben sonst trifft die wahrscheinlichkeit nicht zu sieht man an dem beispiel de sthread erstellers

(1/3)^10 --> alle richtig.. stimmt

(1/3)^9 + (2/3) --> EINE MUSS falsch sein..

Ich glaube, es lohnt sich nicht, auf so konfuse Bemerkungen einzugehen.

08.01.2010, 14:58

eey

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Zitat:

Original von Huggy
Deine Zweifel an der Antwort von LearnMath sind völlig berechtigt.

Deine ursprüngliche Idee war völlig in Ordnung, aber nicht korrekt durchgeführt. Wenn X die Zahl der korrekten Antworten ist, dann ist gesucht:

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 6)=\sum_{k=6}^{10}~P(X=k) \end{eqnarray*}$

Nur ist

$\begin{eqnarray*} P(X=k)\neq (1/3)^k(2/3)^{10-k} \end{eqnarray*}$

Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} P(X=k)=\binom {10} k (1/3)^k(2/3)^{10-k} \end{eqnarray*}$

Dieses Ergebnis kann durch die kumulative Binomialverteilung ausgedrückt werden. Denn es ist

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 6)=1-P(X\leq 5)=1-B(5;10;1/3) \end{eqnarray*}$

Die letzte Zeile, warum muss ich dass so anders ausdrücken mit 1-P ?
Warum kann ich nicht direkt von da an B(k,n,p) machen?

also dass

(1/3)^k * (2/3)^{10-k} * (10 über k)

versteh ich, bis auf dass (10 über k), warum muss dass noch mit dabei sein und woher weiß ich wann ich das benutzen muss?

08.01.2010, 15:49

Iorek

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Du willst die Wahrscheinlichkeit für 6 oder mehr richtige Antworten haben, das entspricht $\begin{eqnarray*} P(X \geq 6)=\sum_{k=6}^{10}~P(X=k) \end{eqnarray*}$ . Jetzt ist es aber einfacher, das Gegenereignis zu bilden, in dem Fall maximal 5 richtige Antworten. Und dann berechnet sich das gesuchte über $\begin{eqnarray*} P(X)=1-P(\bar X) \end{eqnarray*}$

08.01.2010, 16:20

Huggy

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Zitat:

Original von eey
Die letzte Zeile, warum muss ich dass so anders ausdrücken mit 1-P ?
Warum kann ich nicht direkt von da an B(k,n,p) machen?

Verteilungen sind nun mal so definiert, dass sie die Wahrscheinlichkeit angeben, dass eine Zufallsgröße kleiner oder gleich einem bestimmten Wert ist. Man hätte auch andere Definitionen treffen können, hat man aber nicht.
Wenn du also bei solchen Fragestellungen die die in Tabellenwerken oder Rechnern implementierten Verteilungen benutzen willst, musst du die dort benutzten Definitionen berücksichtigen.

Zitat:

also dass

(1/3)^k * (2/3)^{10-k} * (10 über k)

versteh ich, bis auf dass (10 über k), warum muss dass noch mit dabei sein und woher weiß ich wann ich das benutzen muss?

Betrachten wir einmal den Fall, dass genau 9 richtige und genau eine falsche Antwort gegeben werden. Das ist auf verschiedene Weise möglich: Es kann die erste Antwort falsch sein und die anderen neun richtig, es kann die zweite Antwort richtig sein und die anderen neun falsch, usw. Jeder dieser Fälle hat die Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} (1/3)(2/3)^9 \end{eqnarray*}$

Die falsche Antwort kann die erste Antwort, oder die zweite Antwort, oder ..., oder die 10 Antwort sein. Die obige Wahrscheinlichkeit muss also mit

$\begin{eqnarray*} 10 = \binom {10} 1 \end{eqnarray*}$

multipliziert werden.

Entsprechend nuss die Wahrscheinlichkeit, eine andere Zahl von richtigen und falschen Antworten in einer bestimmten Reihenfolge zu geben, mit der Anzahl von Möglichkeiten multipliziert werden, die richtigen bzw. falschen Antworten auf die insgesamt 10 Antworten zu verteilen. So kommen die Binomialkoeffizienten ins Spiel.

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