Gruppe neutrales Element

07.01.2010, 20:28

Matheistsupi

Gruppe neutrales Element

Sei $\begin{eqnarray*} (M, *) \end{eqnarray*}$ Gruppe. Es soll gezeigt werden, dass:

$\begin{eqnarray*} \exists! e: (a * e = e * a = e) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (a, e \in M) \end{eqnarray*}$

Wir benutzen die Definition mit:

1. Assoziativität: $\begin{eqnarray*} (a * b) * c = a * (b * c) \end{eqnarray*}$ , ( $\begin{eqnarray*} a, b, c \in M \end{eqnarray*}$ )
2. Zu jedem $\begin{eqnarray*} a, b \in M \end{eqnarray*}$ existiert $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a * x = b \end{eqnarray*}$
3. Zu jedem $\begin{eqnarray*} a, b \in M \end{eqnarray*}$ existiert $\begin{eqnarray*} y \in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y * a = b \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt schon aus 2. und 3. auch:

$\begin{eqnarray*} a * x = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y * a = a \end{eqnarray*}$ , also:

$\begin{eqnarray*} a * x = y * a = a \end{eqnarray*}$ . <---------------

Folgendes Problem. In dem mir vorliegenden Beweis muss nun auch noch gezeigt werden, dass gilt (bevor dann noch gezeigt wird, dass x = y):

$\begin{eqnarray*} b * x = y * b = b \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \in M \end{eqnarray*}$

Aber warum nochmal für b? Ich sehe gerade den Sinn nicht. Steht nicht oben (mit einem "Pfeil" gekennzeichnet) schon: "Für alle $\begin{eqnarray*} a \in M \end{eqnarray*}$ "? Also: "Für ALLES aus M"?

07.01.2010, 23:31

wisili

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RE: Gruppe neutrales Element

Zitat:

Original von Matheistsupi
$\begin{eqnarray*} \exists! e: (a * e = e * a = e) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (a, e \in M) \end{eqnarray*}$

unterscheidet sich von

$\begin{eqnarray*} \exists x,y: (a * x = y * a = a\ (nicht\ e\ !!!)) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (a, x, y \in M) \end{eqnarray*}$

(Aber der gesuchte Beweis existiert tatsächlich bei «van der Waerden, Algebra I», Seite 17)

Achte in deinem Buch darauf, wie a und b ausgewählt werden. Ich vermute, dass
a irgend ein festes Element ist, hernach b dagegen ein beliebiges. Oder umgekehrt.
Der Beweis verläuft eben so.

08.01.2010, 11:10

Matheistsupi

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Hoppla, ich habe mich tatsächlich vertippt. Gemeint war:

$\begin{eqnarray*} \exists! e: (a * e = e * a = a) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (a, e \in M) \end{eqnarray*}$

Oder in Worten: "Es existiert genau ein neutrales Element e, sodass obige Gleichung gilt."

So, und nu weiß ich eben immer noch nicht, warum nach der Schlussfolgerung aus der Def.,

$\begin{eqnarray*} a * x = y * a = a \end{eqnarray*}$ ,

noch für b statt a gezeigt werden muss, dass diese Gleichung gilt. Sinn würde es nur machen, wenn bei $\begin{eqnarray*} a * x = y * a = a \end{eqnarray*}$ a wirklich nur ein festes a aus M wäre (eigentlich selbst dann nicht, denn so wie neutrales Element in dem Buch definiert wurde (siehe oben), steht prinzipiell nicht, dass es FÜR ALLE a aus M gelten soll, ist etwas schwammig formuliert, finde ich).

08.01.2010, 13:52

Reksilat

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Dieses Herumhantiere mit Quantoren ist eh überflüssig und verwirrt nur. Ich kann mir weder vorstellen, dass die in einem Lehrbuch der Algebra verwendet werden, noch dass dort einfach so ein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ aus heiterem Himmel auftaucht.
Schreib doch mal den genauen Wortlaut der Stelle auf, an der das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ins Spiel kommt.

08.01.2010, 15:15

wisili

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Axiom 2 sichert für jedes a eine Lösung von a x = a, aber es garantiert nicht, dass es dieselben sind!
In Anlehnung an «van der Waerden» würde ich es (mit deinen Variablennamen) so machen:

1.
Aus Axiom 2 folgt, dass für ein fest gewähltes a eine Lösung x von a x = a existiert.
Wir nennen sie lieber e, es ist ein Rechts-Eins-Element von a (vorläufig nur von a): a e = a.
2.
Aus Axiom 3 folgt, dass für jedes beliebig gewählte b je eine Lösung x von x a = b existiert.
Es gilt also a e = a und x a = b. Folglich (mit Axiom 1): x (a e) = b, (x a) e = b, b e = b.
Damit ist gezeigt, dass das Rechts-Eins-Element von a auch ein Rechts-Eins-Element von b ist.
(b war beliebig!) Die Existenz eines allgemeinen Rechts-Eins-Elementes ist somit gesichert.
3.
Aus Axiom 2 folgt nun, dass zu jedem b (eine Lösung von b x = e, d.h.) ein Rechts-Inverses b* mit b b* = e existiert.
Wir multiplizieren jetzt b b* = e von der rechten Seite mit dem Rechts-Inversen b** von b*:
b b* b** = e b** und von der linken Seite mit b*:
b* b b* b** = b* e b**, vereinfacht b* b e = b* b**, nochmal vereinfacht b* b = e.
Damit ist gezeigt, dass das Rechts-Inverse b* von b immer auch Links-Inverses von b ist.
Man spricht deshalb vom Inversen schlechthin. Und man sieht (erst jetzt), dass b** = b gilt.
4.
Mit obigen Einsichten gilt: e b = (b b*) b = b (b* b) = b e = b. Somit ist e zugleich ein
Links-Eins-Element für alle b. Man spricht deshalb vom Einselement schlechthin.

Und wer glaubt, das könne man alles schneller einsehen, soll es bitte zeigen: Ich bin interessiert.

@Reksilat
Quantoren sind Bestandteil der Aufgabe. Man kann die Aufgabe gar nicht formulieren,
ohne Quantoren (oder deren Umschreibung) zu verwenden.

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