Determinante vereinfachen

07.01.2010, 19:47

lala1

Determinante vereinfachen

Hallo zusammen!
Ich bearbeite derzeit eine Aufgabe in der ich die Determinante der folgenden Matrix "vereinfachen" soll.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} -\lambda & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{2}{3}-\lambda & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} -\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Normal kein Problem aber in der Aufgabenstellung steht folgender Hinweis: "Versuchen Sie zunächst, die Determinante zu vereinfachen, indem Sie durch eine elementare Umformung einen Koeffizienten zu Null machen und einen von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ abhängigen Faktor herausziehen.

Mhh umständlich ausrechnen bekomme ich hin, aber mit diesem Hinweis komme ich irgendwie nicht weiter.

Ideen?

Gruß

07.01.2010, 20:22

El_Snyder

Auf diesen Beitrag antworten »

Inwiefern beeinflussen elementare Zeilenumformungen denn die Determinante einer Matrix?

Faktor herausziehen: (4x+4y) = 4(x+y) ... nichts anderes.. deiner sollte eben nicht gleich Lambda sein Augenzwinkern

07.01.2010, 20:37

lala1

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für deine schnelle Hilfe. Mhh naja die Umformung an sich verändert an der Determinante nichts, außer das Sie sich unter Umständen leichter errechnen lässt.

Das hab ich nach der Umformung raus....nur woe soll ich da jetzt noch einen Faktor herausziehen? Passt doch nichts?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} -1,5\lambda & 1 & 1 \\ 1 & -1-1,5\lambda & \frac{1}{2} \\ 0 & 1-\lambda & -1 -\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gruß

07.01.2010, 20:53

El_Snyder

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie hast du denn umgeformt? Ich kann mir nicht mal vorstellen wie du auf diese Matrix kommst verwirrt

07.01.2010, 21:15

lala1

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich hier die zweite von der dritten Zeile abziehe...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} -\lambda & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{2}{3}-\lambda & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} -\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

komm ich hier zu

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} -\lambda & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{2}{3}-\lambda & \frac{1}{3} \\ 0 & 1+\lambda & -1 -\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ // hier war ein kleiner Fehler

und nun teile ich noch jeweils die erste und die zweite Zeile durch 2/3

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} -1,5\lambda & 1 & 1 \\ 1 & -1-1,5\lambda & \frac{1}{2} \\ 0 & 1+\lambda & -1 -\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das nicht erlaubt?

08.01.2010, 09:08

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lala1
komm ich hier zu

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} -\lambda & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{2}{3}-\lambda & \frac{1}{3} \\ 0 & 1+\lambda & -1 -\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist in Ordnung. Allerdings solltest du senkrechte Striche machen (in LATEX: \begin{vmatrix} ... \end{vmatrix}), denn es geht um Determinanten von Matrizen, nicht um die Matrizen selbst! Und jetzt kannst du in der Determinante den Faktor $\begin{eqnarray*} 1 + \lambda \end{eqnarray*}$ aus der dritten Zeile herausziehen, ganz wie es im Tip vorgeschlagen wird.

Zitat:

Original von lala1
und nun teile ich noch jeweils die erste und die zweite Zeile durch 2/3

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} -1,5\lambda & 1 & 1 \\ 1 & -1-1,5\lambda & \frac{1}{2} \\ 0 & 1+\lambda & -1 -\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das nicht erlaubt?

In der Tat - das ist nicht erlaubt.

Neue Frage »

Antworten »

Determinante vereinfachen

Verwandte Themen