Satz von Rolle/Mittelwertsatz

08.01.2010, 03:41	Elby	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Rolle/Mittelwertsatz Hallo Leute! Ich versuche gerade den Satz von Rolle und den Mittelwertsatz zu verstehen. Dabei ist mir noch nicht klar, wie die Formel des MWS eigentlich hergeleitet wird. Also hier mal die Definitionen im Skript: Satz von Rolle: Sei $\begin{eqnarray} f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine stetige Funktion, die im Inneren des Intervalls $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ differenzierbar ist. Sei $\begin{eqnarray} f(a) = f(b) \end{eqnarray}$ . Dann gibt es einen Punkt $\begin{eqnarray} x_0 \in (a,b) \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} f'(x_0) = 0 \end{eqnarray}$ ist (wobei die eckigen Klammern für ein abgeschlossenes Intervall und die runden für ein offenes Intervall stehen). Soweit alles klar! Dann zum Beweis des Mittelwertsatzes:Sei $\begin{eqnarray} g : [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (x - a) \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ stetig und im Inneren differenzierbar. Es gilt $\begin{eqnarray} g(a) = f(a) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(b) = f(b) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(b-a) = f(a) \end{eqnarray}$ . Wir können auf $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ also den Satz von Rolle anwenden. Dann ist $\begin{eqnarray} 0 = g'(x_0) = f'(x_0) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} f'(x_0) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \end{eqnarray}$ die Behauptung. Kann vielleicht jemand bitte Licht ins Dunkel bringen? Danke und lg Elby
08.01.2010, 07:16	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel soll sich dir auch nicht erschließen. Das ist eben die Beweisidee diese Funktion einmal mit dem Satz von Rolle zu untersuchen. Der weitere Verlauf zeigt dass diese Idee gut war. Der Rest ist tatsächlich nur noch einsetzen, rechne es selbst genau nach.
08.01.2010, 09:50	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sage dir mal volkstümlich, was beide Sätze bedeuten: Satz von Rolle: Sei A die Fläche unter einer "krummlinige" Funktion f(x) im x-Intervall [a;b]. Dann existiert stets ein flächengleiches Rechteck mit der gleichen "Seitenlänge" b-a. Mittelwertsatz: Wenn ein Auto von A nach B fährt und dabei seine Geschwindigkeit infolge von Ampeln, Pausen, Tempo-30-Zonen usw. ständig ändert, dann existiert stets eine konstante Durchschnittsgeschwindigkeit.

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