Existenz von Grenzwerten und Mittelwertsatz

08.01.2010, 11:28

BCW

Existenz von Grenzwerten und Mittelwertsatz

Hi, ich habe hier eine Aufgabe mit der ich irgendwie nichts anfangen kann.

Sei f: (0,1]-->R differenzierbar und der Grenzwert limx-->0+ von f´(x) exestiere.
Zeigen Sie, dass auch limx-->0+ f(x):=a existiere.

Kann mir da einer bitte helfen?

Danke

08.01.2010, 11:43

Cel

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Wenn dieses a existiert, dann ist f in 0 stetig fortsetzbar. Was du also zeigen sollst: Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit.

Was kannst du benutzen? Nur die Definition der Ableitung in der 0. Diese solltest du noch mal aufschreiben.

08.01.2010, 17:26

BCW

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Hi Mr. Brightside
danke erstmal für deine antwort, ich werde mich morgen noch mal an diese aufgabe setzen.

08.01.2010, 18:04

tmo

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Zitat:

Original von Mr. Brightside
Wenn dieses a existiert, dann ist f in 0 stetig fortsetzbar. Was du also zeigen sollst: Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit.

Was kannst du benutzen? Nur die Definition der Ableitung in der 0. Diese solltest du noch mal aufschreiben.

Die Ableitung ist bei 0 gar nicht defininert, da die Funktion dort nicht definiert ist.

Ich hätte folgenden Vorschlag:

Seien $\begin{eqnarray*} (a_n),(b_n) \end{eqnarray*}$ zwei beliebige, verschiedene positive Nullfolgen, die ab einem gewissen N nicht mehr gleiche Werte annehmen.

Dann gibt es nach dem Mittelwertsatz zu jedem $\begin{eqnarray*} n > N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \xi_n \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \frac{f(a_n)-f(b_n)}{a_n-b_n} = f'(\xi_n) \end{eqnarray*}$ .

Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} \xi_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge, also gilt für den Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{f(a_n)-f(b_n)}{a_n-b_n} = \lim_{n \to \infty}f'(\xi_n) = a \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt schnell $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(a_n)-f(b_n) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Und nun erinnern wir uns: Das gilt für alle postiven Nullfolgen, die ab einem gewissen Index verschieden sind. Es gilt sogar für alle Nullfolgen, denn man kann immer einen nächsten Index finden, sodass $\begin{eqnarray*} a_n \neq b_n \end{eqnarray*}$ (wenn die Folgen nicht ab einem gewissen Index gleich sind, aber dann gilt ja eh $\begin{eqnarray*} f(a_n)-f(b_n)=0 \end{eqnarray*}$ ) und damit auch ein weiteres Folgenglied der Folge $\begin{eqnarray*} (\xi_n) \end{eqnarray*}$ konstruieren.
Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) \end{eqnarray*}$ existiert. Das gilt es noch zu begründen.

08.01.2010, 20:14

Cel

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Jepp, das war wohl etwas voreilig. Wenn man jetzt aber f' stetig fortsetzt, kann man doch auch zeigen, dass für f ein Grenzwert in der Null existiert bzw. dass auch f stetig fortsetzbar ist?

09.01.2010, 16:19

BCW

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Hi tmo, danke erst mal für deinen Eintrag. Ich habe da ein bisschen Schwierigkeiten dir zu folgen.

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} (a_n),(b_n) \end{eqnarray*}$ zwei beliebige, verschiedene positive Nullfolgen, die ab einem gewissen N nicht mehr gleiche Werte annehmen. Dann gibt es nach dem Mittelwertsatz zu jedem $\begin{eqnarray*} n > N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \xi_n \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{f(a_n)-f(b_n)}{a_n-b_n} = f'(\xi_n) \end{eqnarray*}$ . Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} \xi_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge, also gilt für den Grenzwert: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{f(a_n)-f(b_n)}{a_n-b_n} = \lim_{n \to \infty}f'(\xi_n) = a \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt schnell $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(a_n)-f(b_n) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Das versteh ich irgendwie nicht , für mich würde es mehr Sinn machen wenn es so heißen würde:
Seien $\begin{eqnarray*} (a_n),(b_n) \end{eqnarray*}$ zwei beliebige, verschiedene positive Nullfolgen, die ab einem gewissen N nicht mehr gleiche Werte annehmen.

Dann gibt es nach dem Mittelwertsatz zu jedem $\begin{eqnarray*} n < N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \xi_n \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \frac{f(a_n)-f(b_n)}{a_n-b_n} = f'(\xi_n) \end{eqnarray*}$ .

Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} \xi_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge, also gilt für den Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0} \frac{f(a_n)-f(b_n)}{a_n-b_n} = \lim_{n \to 0}f'(\xi_n) = a \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt schnell $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0} f(a_n)-f(b_n) = 0 \end{eqnarray*}$ .

09.01.2010, 17:02

tmo

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Beachte, dass $\begin{eqnarray*} (a_n), (b_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\xi_n) \end{eqnarray*}$ Folgen sind, bei denen man nur den Grenzwert für n gegen unendlich betrachtet.

Und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} f(x)= g \end{eqnarray*}$ bedeutet nix anderes als $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} f(x_n)= g \end{eqnarray*}$ für jede beliebige Nullfolge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ .

Anschaulich: Bei beiden Schreibweisen drückt man aus, dass das Argument beliebig klein wird. Denn wenn $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ Nullfolge ist, und n gegen unendlich geht, wird $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ja beliebig klein.

@Mr. Brightside:

Zitat:

Original von Mr. Brightside
Wenn man jetzt aber f' stetig fortsetzt, kann man doch auch zeigen, dass für f ein Grenzwert in der Null existiert bzw. dass auch f stetig fortsetzbar ist?

Ja, das kann man zeigen. Aber eben nicht mit deiner Argumentation.

09.01.2010, 17:32

BCW

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Wenn aber die Folgen für ein n> N nicht mehr gleiche Werte annehmen, dann gilt doch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(a_n)-f(b_n) = 0 \end{eqnarray*}$ nicht, oder versteh ich das alles

ganz anders?

09.01.2010, 17:40

tmo

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Doch, dass das gilt, habe ich doch gezeigt. Du solltest meinen Beitrag nochmal lesen und versuchen zu verstehen.

Nur weil die Folgen nicht gleiche Werte annehmen, heißt es ja nicht, dass ihre Differenz nicht gegen 0 konvergieren kann.

09.01.2010, 17:59

BCW

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Ah ok, ich habe deinen Beitrag wirklich nicht gründlich gelesen. Jetzt kann ich das

nachvolziehen. Danke für deine Hilfe!!!

Nur muss ich mir noch klar machen wie darauß dann folgt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) \end{eqnarray*}$ existiert

09.01.2010, 18:46

BCW

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Seien $\begin{eqnarray*} x1, x2 \end{eqnarray*}$ beliebig im Intervall von (0,1] und $\begin{eqnarray*} x1 \end{eqnarray*}$ ungleich $\begin{eqnarray*} x2 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x1>x2 \end{eqnarray*}$ , dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} x1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x2 \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{f(x1)-f(x2)}{x1-x2} = \lim_{x \to 0}f'(\xi) = a \end{eqnarray*}$ gilt.

Für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \end{eqnarray*}$ gilt dann,

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{f(x1)-f(x2)}{x1-x2} = \lim_{x \to 0}f'(\xi) = a \end{eqnarray*}$ .

da $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f'(\xi) = a \end{eqnarray*}$ nach Vorraussetzung existiert, muss auch

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x1) - f(x2) =b \end{eqnarray*}$ existieren , sonst würde ja $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f'(\xi) = a \end{eqnarray*}$ nicht existieren.

Daraus folgt das der $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x1) \end{eqnarray*}$ und der $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x2) \end{eqnarray*}$ existiert.

Da $\begin{eqnarray*} x1,x2 \end{eqnarray*}$ beliebig im Intervall waren, folgt daraus dass, der $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) \end{eqnarray*}$ existiert.

Ist das eine richtige Schlussfolgerung ?

09.01.2010, 19:29

BCW

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Ich habe da ein Schreibfehler gemacht, die erste Gleichung sollte , $\begin{eqnarray*} \frac{f(x1)-f(x2)}{x1-x2} = f'(\xi) = a \end{eqnarray*}$ lauten also ohne $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \end{eqnarray*}$

09.01.2010, 19:40

Cel

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Zitat:

Original von tmo
@Mr. Brightside:

Zitat:

Original von Mr. Brightside
Wenn man jetzt aber f' stetig fortsetzt, kann man doch auch zeigen, dass für f ein Grenzwert in der Null existiert bzw. dass auch f stetig fortsetzbar ist?

Ja, das kann man zeigen. Aber eben nicht mit deiner Argumentation.

Das wollte ich ja nur hören. Was ich vorher gesagt habe, sollte ab da hinfällig sein. Allerdings habt ihr ja einen anderen Weg eingeschlagen, weswegen ich mich hier zurückgezogen habe.

09.01.2010, 20:12

BCW

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Hi Mr. Brightside,

also glaubst du dass, die Folgerung richtig ist?

Ich danke dir für deine Beiträge.

09.01.2010, 23:23

tmo

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Zitat:

Original von BCW
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{f(x1)-f(x2)}{x1-x2} = \lim_{x \to 0}f'(\xi) = a \end{eqnarray*}$ .

Was soll das bedeuten? Was bringt der Grenzwert für x gegen 0, wenn in den Termen x gar nicht vorkommt?

Was hast du gegen meine Folgenschreibweise, dass du sie einfach ignorierst? Die macht das ganze doch eigentlich sehr überschaubar verwirrt

10.01.2010, 09:33

Felix

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Das Ganze lässt sich auch vergleichbar aufwendig - wenn nicht leichter über den Schrankensatz beweisen:

Da $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f'(x) \end{eqnarray*}$ endlich ist, ist $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ auf einem Intervall $\begin{eqnarray*} (0,b) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b <1 \end{eqnarray*}$ beschränkt

Aus dem Schrankensatz folgt, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ lipschitz-stetig auf $\begin{eqnarray*} (0,b) \end{eqnarray*}$ ist. Man folgert leicht, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzbar in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Edit:

Da die Funktion nicht komplexwertig ist, reicht eigentlich auch der MWS Hammer

10.01.2010, 11:08

BCW

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Hi tmo,

ich ignoriere deine Folgenschreibweise nicht. Ich wollte das nur mal versuchen anders

aufzuschreiben, was mir im nachhinein nicht gelungen ist.

Danke für deine Beiträge und deine Hilfe.

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