Verkettung zweier Gleitspiegelungen

08.01.2010, 12:13

Droschu

Verkettung zweier Gleitspiegelungen

Was ergibt sich bei der Verkettung zweier Gleitspiegelungen, die

a) parallele Achsen haben?
b) zueinander senkrechte Achsen haben?

Ich soll meine Aussagen jeweils beweisen. Jedoch weiß ich den richitigen Weg gerade nicht ... Was genau ist bei a) gemeint, von welcher Geraden soll man hier ausgehen? Bei einer Gleitspiegelung habe ich ja eine Verschiebung an zwei parallelen Achsen (soll zu diesen eine 3. Parallele gefunden werden?) sowie eine normale Achsenspiegelung (oder zu dieser Geraden, also zur Senkrechten des Verscheibungspfeils?). Dasselbe gilt dann wohl für b), von welcher Geraden muss ich hier ausgehen?

Danke schonmal! smile

08.01.2010, 13:27

Leopold

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RE: Verkettung zweier Gleitspiegelungen
Welche Beweismöglichkeiten stehen dir zur Verfügung? Behandelt ihr die Kongruenzabbildungen koordinatenfrei? Oder darfst du Vektoren oder Koordinaten verwenden?

Zitat:

Original von Droschu
Bei einer Gleitspiegelung habe ich ja eine Verschiebung an zwei parallelen Achsen (soll zu diesen eine 3. Parallele gefunden werden?) sowie eine normale Achsenspiegelung

Das verstehe ich nicht. Eine Gleitspiegelung setzt sich doch aus einer Achsenspiegelung und einer anschließenden Verschiebung parallel zur Spiegelachse zusammen.

Um überhaupt zu verstehen, worum es geht, schlage ich dir Folgendes vor:

1. Zeichne bei a) zwei parallele Geraden $\begin{eqnarray*} g,h \end{eqnarray*}$ und zwei Verschiebungspfeile $\begin{eqnarray*} \vec{u}, \vec{v} \end{eqnarray*}$ parallel zu $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ . Die dürfen ruhig verschieden lang sein.

2. Jetzt nimm irgendwo einen Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und führe die Gleitspiegelung "Spiegelung an $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und anschließende Verschiebung um $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ " durch. Du erhältst den Punkt $\begin{eqnarray*} P^{*} \end{eqnarray*}$ .

3. Jetzt führe mit $\begin{eqnarray*} P^{*} \end{eqnarray*}$ die Gleitspiegelung "Spiegelung an $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und anschließende Verschiebung um $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ " durch. Du erhältst den Punkt $\begin{eqnarray*} P' \end{eqnarray*}$ .

Den Gesamtvorgang, wie man von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} P' \end{eqnarray*}$ kommt (das ist die Verkettung zweier Gleitspiegelungen bei parallelen Spiegelachsen), den sollst du jetzt einfacher beschreiben. Dazu ist es hilfreich, 2. und 3. mit weiteren Punkten $\begin{eqnarray*} Q,R,\ldots \end{eqnarray*}$ durchzuführen. Vielleicht fällt dir ja etwas auf, wenn du $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P' \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Q' \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} R' \end{eqnarray*}$ usw. verbindest. Dann hast du erst einmal verstanden, was zu beweisen ist. Die schwierigere Aufgabe ist dann, wie man die gefundene Erkenntnis beweist. Und das hängt dann, wie schon gesagt, von dem dir zur Verfügung stehenden Instrumentarium ab.

11.01.2010, 16:49

Anne0506

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ich habe genau das gleiche problem. habe mal deinen rat befolgt leopold und mir ist aufgefallen, dass die entstanden strecken PP', QQ' usw. parallel sind. aber was ist das für eine eigenschaft? wie kann ich das beweisen?
wir behandeln die KA koordinatenfrei, benutzen aber vektoren dazu.
über eine antwort würde ich mich sehr freuen.
gruß

12.01.2010, 17:10

Leopold

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Um was für eine Abbildung handelt es sich denn, wenn die Pfeile von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} P' \end{eqnarray*}$ , von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} Q' \end{eqnarray*}$ usw. parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind? Das gilt doch alles, nicht wahr?

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