Drei Punkte an einem Graphen

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Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »
Drei Punkte an einem Graphen
Hallo alle zusammen.
Ich habe mir jetzt schon den Kopf zerbrochen aber ich krieg das einfach nicht auf die Kette...

"Gegeben seien drei Punkte L(33/-5), M(-60/57), N(3/15). Finde eine Funktion, so dass die Punkte L, M und N auf dem Graphen liegen."

Ich wollte das gleichsetzen bin aber dann an dem einsetzten gescheitert. =)

vielen dank schon mal im vorraus!!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst einmal solltest du dir Gedanken darüber machen, welchen Grad deine Funktion haben soll, dann schreibst du dir dazu die allgemeine Funktionsgleichung auf und dann gucken wir mal weiter smile
 
 
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »
Grad?
Was ist den ein Grad?

also ich habe damit angefangen, drei Gleichungen auf zu stellen.

1. -5= 1089a+ 33b+ c
2. 57= 3600a+ 60b+ c
3. 15= 9a+ 3b+ c

und wie gehts jetzt weiter? muss ich dann nicht iwie die erste minus die zweite machen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, eine Frage hätte ich davor noch stellen sollen...in welche Klasse gehst du denn? smile

Falls es auf lineare Funktion abzielt, so wie du sie da aufgeschrieben hast, kannst du das auf mehrere Arten lösen. Du kannst das von dir erstellte Gleichungssystem über das Gaußverfahren lösen (das was du mit "die erste minus die zweite" meinst), oder du benutzt das Gleichsetzungsverfahren.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Falls es auf lineare Funktion abzielt

Ich würd eher sagen, es ist ne quadratische Funktion...

y=ax²+bx+c

...
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »

geh in die 10. klasse .

sry hätte ich erwähnen sollen, dass wir das mit dem gaußverfahren machen sollen. =)
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich sehs auch grade, hab die Gleichungen falsch gelesen.

Hast du mit dem Gaußverfahren denn schonmal gearbeitet und kommst du an einer bestimmten Stelle nicht weiter, oder ist dir das noch vollkommen fremd? smile
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich würd eher sagen, es ist ne quadratische Funktion...

y=ax²+bx+c

...


ja genau!
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »

naja also ich komm bis zum aufstellen von den drei gleichungen!! unglücklich
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

bevor ihr hier weitermacht, wollte ich nur mal erwähnen, dass bei der 2. Gleichung ein Vorzeichenfehler ist Augenzwinkern
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »

ohh natürlich!! Hammer

da muss ein -60a hin!!

also für die 2. dann 57=3600a-60b+c =)
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

@Kääsee, danke, ist zur Kenntnis genommen smile

Das Gaußverfahren zielt darauf ab, durch meist geschicktes Addieren der Gleichungen die Variablen a,b,c,... bestimmen zu können. Dabei stellt man wie in deinem Beispiel die nötigen Gleichungen auf (pro Variable ist eine Gleichung notwendig um das eindeutig lösen zu können) und formt dann ein bischen um. Nehmen wir uns als Beispiel mal ein System mit 2 Gleichungen

2=4a+b
4=2a-b

Die Variablen a und b sind in beiden Gleichungen vorhanden, und (was wichtig ist) das a in der ersten Gleichung ist auch das a aus der zweiten Gleichung. Wir versuchen jetzt durch geschicktes Addieren der Gleichungen eine Variable zu "eliminieren", d.h. wir wollen dadurch eine Gleichung bekommen, in der nur noch a oder nur noch b steht. An dieser Gleichung können wir dann ja den Wert ablesen.

Uns könnte jetzt auffallen, dass in der ersten Gleichung ein "+b" steht, in der zweiten ein "-b", wenn wir jetzt also die erste auf die zweite Gleichung addieren, würden wir "+b-b" erhalten, und somit würde b rausfallen. Da wir die erste Gleichung aber nicht verändern, schreiben wir sie einfach ab:

2=4a+b
4+2=2a+4a-b+b

Die zweite Gleichung können wir jetzt noch ausrechnen (die erste schreiben wir weiterhin einfach ab)

2=4a+b
6=6a <=> a=1

Somit haben wir durch geschicktes Addieren einen Wert für unser a bekommen, also ist a=1. Das können wir jetzt in die erste Gleichung einsetzen (wir haben ja oben gesagt, dass das das selbe a ist)

2=4*1+b <=>2=4+b <=> b=-2

Also haben wir jetzt die Variablen a und b berechnet.

Ganz genauso funktioniert das auch mit deinen 3 Gleichungen, nur dass du eben eine Variable mehr da stehen hast. Du versuchst durch geschicktes Addieren zuerst eine Variable in einer Gleichung zu eliminieren und danach die zweite auch noch, sodass du am Ende nur noch 1 Variable in dieser Gleichung stehen hast. Den Wert dafür kannst du dann in einer der anderen Gleichung einsetzen, die zweite Variable berechnen und schließlich auch die dritte.

Und damit wir nicht mit falschen Gleichungen anfangen, direkt Kääsees Hinweis angewandt:

2. 57= 3600a - 60b+ c
Es muss -60b heißen Augenzwinkern
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »

wow.. das hab ich sogar verstanden!

aber wenn ich das mit den gegebenen zahlen versuche funktioniert das nicht, dass eine variable wegfällt. jedenfalls find ich keine möglichkeit...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

1. -5= 1089a + 33b + c
2. 57= 3600a - 60b+ c
3. 15= 9a + 3b + c

Das sind unsere 3 Gleichungen. Was vllt. nicht ganz klar geworden ist, weil ich es in meinem Beispiel nicht erwähnt habe: Du kannst die Gleichungen vor dem Addieren auch mit einer Zahl Multiplizieren (Achtung: NICHT Gleichung mit Gleichung multiplizieren!).

Wir haben in allen 3 Gleichungen hinten jeweils ein "+c" stehen, wenn wir das wegbekommen wollen, müssen wir also "-c" dazu Addieren. Wie wäre es denn, wenn wir die 1. Gleichung mit (-1) Multplizieren und dann auf die anderen beiden jeweils addieren? smile
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »

achso .. dann würde da nach meiner berechnung das raus kommen:

1. 5=-1089a - 33b - c
2. 62=2511a - 93b
3. 20=14a - 30b
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Überprüf in der dritten Gleichung nochmal die 14a, da kann etwas nicht stimmen, ansonsten sieht aber alles richtig aus bisher Freude
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »

ohh klar!!

muss dann

3. 20=1098a - 30 b

heißen .
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Fast, du rechnest ja 9a-1089a Augenzwinkern



Wenn du die letzte Kleinigkeit verbessert hast, haben wir in der zweiten und dritten Gleichung nur noch a und b stehen, also würde es sich anbieten, erstmal mit den beiden weiterzuarbeiten und entweder a oder b in einer der beiden Gleichungen zu eliminieren (auch wenn die Zahlen anscheinend etwas blöd werden verwirrt )
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »

ok

also
3. 20=-1080a - 30b

aber da kann man doch mit den anderen termen nichts machen oder?
das müssen doch dann die gleichen zahlen sein nur mit anderen vorzeichen .. ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

1. 5=-1089a - 33b - c
2. 62=2511a - 93b
3. 20=-1080a - 30b

Es können auch andere Zahlen sein, beim c war es gerade sehr schön, dass wir überall nur "c" ohne weiteren Faktor hatten, also konnten wir einfach mit (-1) multiplizieren.

2=a+b
4=7a+2b

Um das "+2b" in der zweiten Gleichung zu eliminieren, müssen wir die erste nun mit (-2) Multiplizieren und auf die zweite Addieren, ähnlich muss es jetzt bei deinen Gleichungen gemacht werden smile

Kurzer Nachtrag: Wir können natürlich auch mit (-7) Multiplizieren um das a zu eliminieren, es ist egal ob wir a oder b wegfallen lassen, wir bekommen das gleiche Ergebnis raus.
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »

achso.. langsam blick ich glaub ich dahinter.

das könnte dann so aussehen

1. 162=2611a + 30b (weil ich dann einfach +100 gerechnet hab? es muss doch positiv sein, damit ich dass dann mit der anderen zeile multiplizieren kann und das b dann wegfällt oder?)
2. 20=-1080a - 30b

dann wäre das

182=1531a
a = 182/1531

und bei b dann -1431 also

-1369=1080a - 93b
20 = -1080a - 30b

b wäre dann

-1349=-123b
b = -1349/-123

soo das hab ich jetzt .. hoffe, dass das richtig ist. aber wie setz ich das dann weiter ein?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nene, du darfst nicht einfach "+100" auf eine Gleichung rechnen, das geht leider nicht.

2. 62=2511a - 93b
3. 20=-1080a - 30b

Ich würde mich hier spontan dazu entscheiden, das b zu eliminieren, einfach weil die Zahlen kleiner sind (auch wenn sie trotzdem noch groß werden). Du darfst einzelne Gleichungen nur multiplizieren, also musst du es irgendwie schaffen, dass du (nur mit der Multiplikation) sowohl in der 2. Gleichung als auch in der 3. Gleichung die gleiche Anzahl von "b"s stehen hast.
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »

aber wie soll das denn gehen?? verwirrt
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

du siehst ja, dass man 93 und 30 beides durch 3 teilen kann. Dann würde ich entweder die erste Gleichung zuerst durch 31 (dann hast du noch 3 b) teilen und dann mal 10. Und dann entweder beide Gleichungen subtrahieren oder eine noch mal (-1) und dann addieren.
Aber einfach ist es glaub ich, zuerst die 2. Gleichung durch 10 und dann mal 31...
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »

das heißt ich kann einfach die komplette gleichung ändern??

also

2. 62=2511a - 93b
3. 62=-3348a + 93b

gut dann fällt das b weg und ich kann a ausrechnen:

124=-837a
a = 124/-837


?
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kratzer

2. 62=2511a - 93b
3. 62=-3348a + 93b


ok, du hast das jetz mit der 2. Gleichung gemacht. Aber als du dann mit -1 multipliziert hast, wieso hast du dann das Vorzeichen nur bei den 93 b geändert?
Sonst ist es richtig.

und
Zitat:
das heißt ich kann einfach die komplette gleichung ändern??

wenn du auf beiden Seiten das selbe machst, veränderst du ja nichts an der Gleichung. Das ist wie Brüche erweitern. Augenzwinkern
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »

also dann

2. 62=2511a - 93b
3. -62=3348a + 93b

0=5859a
a=0 ?? kann das sein?

argh!! traurig hab's bestimmt wieder falsch gemacht
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

a=0 ist richtig Freude
und was ist mit den andern?? Augenzwinkern
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh jeah

gut ähhm ..

grml.. egal was ich mache, es kommen nur kommazahlen raus..
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

wieso das? Setz doch einfach in eine dieser beiden Gleichungen das e ein!! (:
Es kommt schon ne Kommazahl raus, die ist aber ein schöner Bruch Augenzwinkern

2. 62=2511a - 93b
3. 20=-1080a - 30b
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »

achso.. meinst du das a? ich hab ja kein e ..

62=2511*0 - 93b
62=-93b
b=-2/3

ok das heißt ich hab jetzt
a = 0
b = -2/3
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Da Kääsee off ist, antworte ich mal. Dein Ergebnis stimmt. Freude
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »

danke ! =)

und was muss ich jetzt weiter machen, um die Funktion für den graphen raus zu kriegen?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

c bestimmen. Augenzwinkern
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »

also setz ich in die funktion 5=-1089a - 33b - c
a und b ein..

5=-1089*0 - 33*-2/3 - c
5=22 - c
-17=-c
17=c !!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt auch wieder. Freude

Und so sieht der Graph aus:



Relativ unspektakulär, wenn man deine ganze Mühe sieht...Augenzwinkern
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »

mhh das heißt die funktion von dem graphen ist dann y=-2/3x + 17 !!

wow .. was für ein aufwand für ein paar zahlen.

danke an alle, die mir geholfen haben. Gott

ich werd mir das jetzt alles noch mal genau angucken und dann hab ichs auch wirklich verstanden.
jetzt muss ich mir das nur noch merken Augenzwinkern
Kratzer Auf diesen Beitrag antworten »

komisch ne freundin von mir hat was anderes raus!!

a=0
b=2/3
c=-27

wenn sie das in die funktion -5=1089a + 33b + c einsetze kommt raus, dass das auch richtig ist.
kann es denn sein, dass es zwei lösungen gibt??
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, deine Lösung ist richtig, es gibt keine andere Möglichkeit. smile

Die Freundin muss sich irgendwo verrechnet haben.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

für die erste Gleichung mögen die Lösung deiner Freundin vielleicht stimmen, aber du musst sie müssen für alle 3 richtig sein. Du kannst sie ja mal noch in die 2. und 3. einsetzten Augenzwinkern

2. 57= 3600a - 60b+ c
3. 15= 9a + 3b + c
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