Bestimmung der reellen Zahlen in Linearkombinationen

08.01.2010, 20:36

Karatepro

Bestimmung der reellen Zahlen in Linearkombinationen

Edit (mY+): Bitte KEINE Hilfeersuchen in der Überschrift. Titel geändert.

Hallo!

Ich schreibe am Montag Mathe-Klausur und bin doch etwas verwirrt!

Also wenn ich 4 Vektoren a,b,c,d überprüfen muss, ob sie linear abhängig sind, schreib ich dann:

k1*a + k2*b + k3*c = d (k sind reelle zahlen)

Dann schreib ich das um in ein lineares Gleichungssystem mit I), II) usw..

Und dann berechne ich die einzelnen Werte für k.
Stimmt das soweit?

Was muss ich denn für die einzelnen k rausbekommen, damit ich sagen kann ob die Vektoren linear abhängig sind oder nicht?
Ich habe das so verstanden:
Bekomme ich für jedes k ein (unterschiedliches) Ergebnis raus sind die Vektoren linear abhängig.
Ist das richtig?
Aber wann sind sie linear unabhängig?
wenn ich für eines der k 0 rausbekomme? oder wenn ich für alle 0 rausbekomme? oder wenn sie alle gleich sind??
das hab ich absolut nicht verstanden...

Bei zwei Vektoren z.B. a und b muss ich schreiben:

a = k*b
dann wiederum ein lineares Gleichungssystem
und wenn für k was unterschiedliches rauskommt(also ein Widerspruch), sind sie linear unabhängig und spannen somit eine Ebene auf, wenn dasselbe rauskommt, sind sie linear abhängig.
Stimmt das?
Bei drei Vektoren kann man lineare Abhängigkeit doch immer per Determinante überprüfen oder nicht?

Ich kenn nur meinen Lehrer und der wird sicher nicht jedesmal 3 Vektoren drannehmen, also kann ich mich nicht nur auf die Determinante verlassen Augenzwinkern

Für Antworten wär ich dankbar, weil ich die Aufgaben einigermaßen lösen kann, aber dann nie den Schluss ziehen kann, ob sie abhängig sind oder nicht^^

Vielen Dank schonmal!

LG

Jenni

08.01.2010, 20:54

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Du nimmst dir bei denen 4 Vektoren eine andere Gleichung, und zwar nimmst du $\begin{eqnarray*} k_1\cdot \vec{a}+k_2\cdot \vec{b} + k_3\cdot \vec{c} + k_4\cdot \vec{d}=\vec{0} \end{eqnarray*}$ , du versuchst also eine Linearkombinaton des 0-Vektors zu bestimmen. Wenn du dafür nur die triviale Lösung $\begin{eqnarray*} k_1=k_2=k_3=k_4=0 \end{eqnarray*}$ erhälst, sind die 4 Vektoren linear unabhängig.

Das ganze lässt sich übrigens auch auf jede beliebige Anzahl an Vektoren anwenden, also kannst du diese Vorgehensweise auch für 2, 3, 5, 28 Vektoren benutzen smile

08.01.2010, 21:32

Karatepro

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das ging schnell^^

Ah ok...das hatten wir auch mal aufgeschrieben,allerdings nur für 3 Vektoren...Leider haben wir das nur allgemein aufgeschrieben und keine Beispiele gemacht...Für 2 hatten wir wiederum was anderes aufgeschrieben, deshalb war ich so verwirrt..
Er meinte dann, die andere Methode, also einen Vektor als Linearkomnination der anderen darzustellen, sei einfacher und wir haben nur noch diese Methode benutzt...

Reicht es dann schon aus wenn ein k nicht 0 ist, um zu sagen die Vektoren sind linear abhängig oder müssen alle ungleich 0 sein?

LG

Jenni

08.01.2010, 21:51

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Es müssen alle gleich 0 sein.

Nimm dir z.B. $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ \vec{y}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{z}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Je zwei Vektoren sind linear unabhängig zueinander, z.B. liefert $\begin{eqnarray*} a\cdot \vec{x}+b\cdot \vec{y}=\vec{0} \end{eqnarray*}$ nur die triviale Lösung $\begin{eqnarray*} a=b=0 \end{eqnarray*}$ , ebenso für $\begin{eqnarray*} a \cdot \vec{x}+ b\cdot \vec{z}=\vec{0},\ a\cdot \vec{y} + b\cdot \vec{z} \end{eqnarray*}$ . Sobald du aber alle 3 betrachtest erhälst du etwas anderes, $\begin{eqnarray*} a\cdot \vec{x} + b\cdot \vec{y} + c\cdot \vec{z}=\vec{0} \Rightarrow a=b=1,\ c=-1 \end{eqnarray*}$ .

Anderes Beispiel wäre $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ \vec{y}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \vec{z}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , hier bekommst du zwar $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ , aber du kannst die 0 trotzdem aus diesen Vektoren Linearkombinieren, $\begin{eqnarray*} -2 \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}=\vec{0} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a\cdot \vec{x} + b\cdot \vec{y} + c\cdot \vec{z}=\vec{0} \Rightarrow a=0, \b=-2,\ c=1 \end{eqnarray*}$ .

08.01.2010, 22:59

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Karatepro
...
Er meinte dann, die andere Methode, also einen Vektor als Linearkomnination der anderen darzustellen, sei einfacher und wir haben nur noch diese Methode benutzt...

Reicht es dann schon aus wenn ein k nicht 0 ist, um zu sagen die Vektoren sind linear abhängig oder müssen alle ungleich 0 sein?

LG

Jenni

Diese Darstellung (die sich von der Relation mit dem Nullvektor unterscheidet): Ein Vektor wird als Linearkombination der restlichen Vektoren angesetzt:

$\begin{eqnarray*} \vec a = k_1 \vec b + k_2 \vec c + \ldots \end{eqnarray*}$

kannst du auch benützen. Im Falle der lin. Unabhängigkeit gibt es allerdings kein einziges k, das diese Beziehung erfüllt, auch die Lösung Null nicht, denn dann lässt sich der eine Vektor NICHT als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen.
Erhältst du Lösungen für diese Faktoren k, darunter können auch einzelne (aber nicht alle) Null sein, so sind die Vektoren linear abhängig.

Du kannst dir daher merken:
Keine Lösungen für die Multiplikatoren (k): --> Lineare Unabhängigkeit
Lösungen für die Multiplikatoren (k) vorhanden: --> Lineare Abhängigkeit

mY+

09.01.2010, 15:24

Karatepro

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, das mir der Überschrift kommt nicht mehr vor Augenzwinkern

Vielen Dank, ich hab grad ein paar Übungsaufgaben durchgemacht und hatte sie alle richtig^^
Sowohl mit der einen als auch mit der anderen Methode Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Bestimmung der reellen Zahlen in Linearkombinationen

Verwandte Themen