Optimierungsaufgabe

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basti1987_1 Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierungsaufgabe
Hey,

bei dieser Optimierungsaufgabe habe ich noch einige Probleme, wobei mir das Thema generell sehr schwer fällt.

>> Auf. 6 (Optimierungsaufgabe) Bestimmen Sie die Zielfunktion, ihren Zulässigkeitsbereich
(d.h. die möglichst genaue Eingrenzung der beteiligten Variablen) und alle erforderlichen
Nebenbedingungen zur Lösung der Aufgabe:
"In einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundäche befindet sich ein gerader Kreiszylinder maximalen Volumens." <<

Ich habe dann halt die Formeln für das Volumen und die Oberflächen der jeweiligen Körper, komme aber nicht weiter! -.-
Ich hoffe mir kann jmd. helfen! smile
Schonmal danke im voraus!

Gruß, Basti
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Überlege, welchen Schnitt du in der Pyramide (a; H) führen musst, um die Berührung des Deckkreises des Zylinders (r, h) mit den Seitenflächen der Pyramide zu sehen bzw. einzeichnen zu können.
In besagtem Schnitt erscheint dann die Pyramide als Dreieck und der Zylinder als Rechteck, der diesem Dreieck eingeschrieben ist. Darin gibt es weiters noch rechtwinkelige Dreiecke zu erkennen, die einander ähnlich sind. Mittels dieser Eigenschaft (Proportionalität bei ähnlichen Figuren) kann nun die Nebenbedingung (Zusammenhang r, h Zylinder und a, H Pyramide) hergestellt werden

Die Nebenbedingung ermöglicht - in die Hauptbedingung (Volumen des Zylinders --> Max.) eingesetzt - dass diese nur noch in einer Variablen vorliegt, nach der die Ableitung zu bilden ist. Die Extremwertberechnung kann letztendlich auf dem üblichen Weg zu Ende geführt werden.

[ Kontr.: r = a/3; h = H/3 ]

mY
basti1987 Auf diesen Beitrag antworten »

danke schonmal smile

trotzdem blicke ich noch nicht so ganz durch...

durch die proportionalität von a/H zu d/(H-h) bin ich auf das verhältnis der höhen gekommen ( H=3h)
wie komme ich denn jetzt auf das verhältnis von seitenlänge zu radius (oder zu durchmesser)?
und desweiteren tue ich mich noch schwer die zielfunktion und die nebenbedingung aufzustellen, da ich beide funktionen brauche um mit ihnen danach das LAGRANGE-verfahren anzuwenden verwirrt

beste grüße, basti
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Seitenlänge kann aus r und h berechnet werden.
Die Zielfunktion ist lediglich das Volumen des Zylinders.

mY+
basti1987 Auf diesen Beitrag antworten »

ich komme einfach nicht drauf verwirrt

ich bin die ganze zeit am hin und her überlegen, aber ich kriege das verhältnis von seitenlänge zu radius nicht raus! -.-
vielleicht gibt es noch irgendwelche denkanstöße die mch weiterbringen?!

ist die nebenbedingung einfach nur das volumen der pyramide und a und H ausgedrückt durch r und h?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

.. Hauptbedingung

.. Nebenbedingung



[ H, a sind Konstanten, als multiplikative Konstanten vor der ganzen Funktion weglassen ]

in s einsetzen ...

mY+
 
 
basti1987 Auf diesen Beitrag antworten »

so leid es mir tut, jetzt bin ich komplett verwirrt geschockt

das verhältnis von seitenlänge zu radius verstehe ich, aber nach welcher variablen muss ich dies auflösen und wo das dann einsetzen?
wenn H und a konstant sind soll ich also nach r auflösen?
und wie kommen Sie auf V(r)=... ?
resultiert das (a-2r) aus dem verhältnis von



und wozu dient mir

???

(satz des pythagoras???)

gruß, basti
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Seitenlänge - was meinst du genau damit?

Ich hatte mit s die Seitenlinie (Mantellinie) eines Kegels gemeint, welcher allerdings hier nicht vorkommt, sorry, da habe ich mich vertan, denn es handelt sich ja um einen Zylinder!

Und: Zum Optimieren muss man die Zielfunktion (in ihr kommten die Variablen r, h vor) - nachdem man sie mittels der Nebenbedingung (Variablen ebenfalls r, h, Konstanten a, H) auf eine Variable gebracht hat - ableiten und Null setzen. Hast du das eigentlich durchschaut?? Ich befürchte - nicht.

mY+
basti1987 Auf diesen Beitrag antworten »

mit seitenlänge meine ich das a, welches ja zum quadrat die grundfläche der pyramide bildet!

das prinzip von optimierungsaufgaben ist mir schon bewusst. zumal wir in unserer vorlesung und im tutorium schon einige aufgaben dieses typs bearbeitet haben.
durch das ableiten und "=0" setzen der zielfunktion kommt man ja auf die extremwerte, die man schließlich sucht.
das ist ja im grunde genommen das selbe prinzip, wie bei einer simplen kurvendiskussion.
jedoch fällt mir das in diesem fall ziemlich schwer.

als grundgerüst für diese aufgabe nehme ich das volumen der pyramide



und das volumen unseres zylinders



das volumen des zylinders ist ja quasi unsere zielfunktion.
ist es jetzt so, dass das volumen der pyramide die nebenbedingung ist?
und müssen in der nebenbedingung alle variabeln stehen die bis dato vorgekommen sind? (a,H,r,h)

auf das verhältnis der beiden höhen zueinander komme ich (3*h=H).

nun weiß ich nicht genau wie ich weiter fortfahren muss. irgendwie muss ich ja auf 3*r=a kommen.

ansätze von mir sind:



und



wonach muss ich denn auflösen und wo muss ich dass schließlich einsetzen um auf 3*r=a zu kommen?

und wie sieht dann schließlich meine fertige nebenbedingung aus? diese brauche ich ja um lagrange anzuwenden!

oke, dass war jetzt recht viel. ich hoffe SIE können mir noch weiter helfen smile
ich muss dazu sagen, dass das thema optimierungsaufgaben mein absolutes angst-thema ist geschockt

gibt es denn eine allgemeine und relativ leicht durchschaubare herangehensweise?

danke für IHRE mühen

gruß, basti
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Schau in den Anhang. Da gibt es eine dynamische 3D-Zeichnung. Zum Öffnen der Datei brauchst du das Programm Euklid. Eine Demoversion gibt es hier.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Für Extremwertaufgaben kann man die Vorgänge in einer Art Kochrezept festhalten:
  1. Aufstellen einer Gleichung mit Variablen für die Größe -> Hauptbedingung
  2. Formulierung von Nebenbedingungen
  3. Bestimmung der Zielfunktion durch Einsetzen der Nebenbedingung(en) in nur noch einer Variablen
  4. Die Definitionsmenge bestimmen.
  5. Vereinfachung der Ansatzfunktion (!)
  6. Bestimmung der relativen Extremwerte der Zielfunktion [Nullsetzen der 1. Ableitung]
  7. Mittels der 2. Ableitung auf Art des Extremums prüfen
  8. Extremwert in die Nebenbedingung einsetzen liefert die anderen Größen.

Du solltest vor allem auch am Punkt 5 nicht vorbeigehen. Denn die Volumen-Funktion (Zylinder) lautet



und da kannst du Einiges an konstanten Faktoren weglassen, sodass die Ableitung ganz einfach wird. Bei den beiden von dir geschriebenen Gleichungen der Nebenbedingung ist die erste falsch, sie müsste lauten: a : 2r = H : (H - h)
Damit sind beide redundant, d.h. sie liefern am Ende die gleiche Beziehung



Das war noch in die allg. Volumenformel des Zylinders einzusetzen.

mY+
basti1987 Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank smile

jetzt habe ich's endlich raus Freude

jetzt habe ich aber noch eine frage. unzwar sollen wir die gleich aufgabe mit dem Lagrangeschen Multiplikatorverfahren lösen. für lagrange braucht man ja in der regel eine haupt- und eine nebenbedingung, die dann durch ein parameter miteinander verknüpft werden.
ich denke in diesem fall ist die hauptbedingung die volumenformel für den zylinder. was ist denn dann die nebenbedingung, weil ich ja bis jetzt 2 nebenbedingungenhabe, brauche für lagrange aber nur eine?! oder seh ich da was falsch?

gruß, basti
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch sowieso nur eine Nebenbedingung, wo siehst du zwei? Es gab ja bereits den Hinweis, der besagte, dass die beiden Beziehungen bei dir (wobei die eine falsch war!) redundant sind und somit identisch sind.

Bei dem Lagrange-Multiplikationsverfahren wird allgemein die Funktion



eingeführt und deren partielle Ableitungen nach x, y bestimmt und Null gesetzt (Gradientenmethode), wobei z(x,y) die Hauptbedingung und g(x,y) die Nebenbedingung ist. Die beiden durch das Nullsetzen erhaltenen (einfachen) Gleichungen werden nach x, y aufgelöst und liefern, in die Nebenbedingung eingesetzt, den Multiplikator

Bei diesem Beispiel lautet die Funktion



und deren partielle Ableitungen nach r, h sind demgemäß Null zu setzen.

mY+
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