Integral mit Formel - Green/Riemann - berechnen

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fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mit Formel - Green/Riemann - berechnen
Gegeben:






Das Integral soll mit Hilfe des Satzes von Green/Riemann berechnet werden.

Meine Lösung bisher:

Satz von Green/Riemann:
Zitat:





Transformation in Polarkoordinaten:


(da r constant)

Grenzen anpassen:




so und hier beginnen die Probleme. Wie integriere ich das wenn ich im Integral stehen habe.

Stimmt meine Lösung bisher?

danke im voraus

//kleiner Schönheitsfehler beseitigt
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mit Formel - Green/Riemann - berechnen
Zitat:
Original von fraggelfragger
Stimmt meine Lösung bisher?


Nein, ist natürlich wieder mal totaler Schwachsinn, aber das sollst du diesmal selbst herausfinden... Deine Art, dich aus Threads, wo man dir geholfen hat kommentarlos zu verabschieden, gefällt mir gar nicht... unglücklich
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, dafür entschuldige ich mich. Kommentar folgt sofort.


Bis hier hin stimmt es aber:


//edit

bin noch auf Fehlersuche...
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mit Formel - Green/Riemann - berechnen
Zitat:
Original von fraggelfragger
Gegeben:






Hier kann mMn schon was nicht stimmen. ist keine Kurve sondern eine Fläche aber der Integrand eine 1-Form.
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »





Das sind die Übersetzungsschwierigkeiten Augenzwinkern Da stand vorher D was für Domaine steht.
Was soviel wir Gebiet, Bereich, Domäine übersetzt heisst.

Wie bezeichnen wir das im deutschen?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte nicht wegen oder .
Der Integrand ist eine 1-Form, also ein Ding das über Kurven zu integrieren ist.
Aber das Integrationsgebiet ist keine Kurve, sondern eine Fläche.
 
 
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt es wenn man es so schreibt?




//edit
\delta D symbolisiert somit z.b eine Distanz von AB
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt machen jedenfalls die Integrale Sinn.

Die Gleichheit ist auch OK wegen deinem Satz.
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

Okay dann begebe ich mich auf weitere Fehlersuche.

Danach habe ich mir mit einer Skizze verdeutlicht wie der Graph dieser Funktion aussieht.
Es ist ein Kreis der um vom (Ursprung) nach oben verschoben ist.

Ich suchte mir die Funktion dieses Kreises in Paramterform:



Und habe diese abgeleitet.



Bis hierhin stimmts auch soweit, bin ich der Meinung.

Diesesmal auch kein Ableitungsfehler.

//edit

Die Grenzen habe ich nochmal kontrolliert, sie stimmen. Betrachtung mit trigonometrisch positiven Sinn. (laut Definition).



//edit

Also ganz klar!



das ist falsch!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

[...] Siehe meinen Kommentar weiter unten...
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe einfach nicht, wieso du jetzt nicht schnell das Kurvenintegral ausrechnest. Das ist nur noch einsetzen und schon bist du fertig, ganz ohne Koordinatentransformation.
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, da haben wir den Übeltäter, er liegt im entscheiden wann ich Polarkoordinaten nehme und wann ich Parameterdarstellung benutze.

Kann man Pauschal sagen?, bei :
Kurvenintegral - Wegintegral --> immer Parameterdarstellung
ansonsten --> Polarkoordinaten

//edit
Ich wiederrufe Kommentar.




Es ist also vollkommen egal ob ich Parameterdarstellung oder Polarkoordinaten/Kartesische Koordiante/... benutze. Man entscheidet nach dem geringsten Widerstand.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Pauschal kann man grundsätzlich nichts sagen. Was willst du zb bei einem Rechteck als Integrationsgebiet dann Polarkoordinaten nehmen?

Man kann aber was anderes sagen:
Hast du ein Integral über eine Fläche und das kannst du nicht ausrechnen, dann kannst du zb mit Green-Riemann [oder allgemein: mit Stokes] daraus ein Integral über den Rand machen.
Vielleicht kannst du das dann sehr leicht ausrechnen, wie hier.
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

Nun also einsetzen in das Integral:


Und es kommt wieder der selbe Ausdruck raus wie oben.
lässt man das 2. weg? oder wie kann ich das weiter berechnen?


Ich habe nur die Ableitungen der Parameterdastellung eingesetzt.




Was mache ich falsch, ich steh auf dem Schlauch..
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fraggelfragger
Nun also einsetzen in das Integral:



Das ist schlicht Unsinn unglücklich .
Auf der einen Seite hast du ein Doppelintegral, auf der anderen Seite etwas das ich auch nicht verstehe.

Ich habe es dir schonmal gesagt:
Berechne doch einfach mal das Kurvenintegral


Dafür nutzt du den Weg
mit .
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

@fraggelfragger

Du brauchst deinen Kommentar nicht widerrufen (so wie auch ich meinen nicht), es ist so, wie du geschrieben hast, dass man die Parameterdarstellung für ein Wegintegral, Polarkkordinaten (wenn überhaupt) dann für ein Bereichsintegral benützen sollte...

Auch in gegebenem Fall kannst das Bereichsintegral



mit Hilfe von Polarkkordinaten berechnen, indem du den Koordinatenursprung einfach in die Mitte des Kreises verschiebst, was hier nichts ausmacht, aber den Wert dieses Integrals, nämlich die doppelte Fläche von D, weißt ja auch so...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigt, wenn ich jetzt auch noch meinen Senf dazugebe. Aber das ist ja kaum auszuhalten.


@ fraggelfragger

Warum dieses Durcheinander? Wo kommt auf einmal her? Davon war doch in der Aufgabe nirgendwo die Rede! Da gibt es doch nur , das Innere einschließlich Rand des Kreises um vom Radius 1. Und system-agent hat dich dann darauf aufmerksam gemacht, daß die 1-Form nicht über den zweidimensionalen Bereich integriert werden kann. Entweder ist also die Aufgabe falsch gestellt oder du hast sie falsch abgeschrieben. Sinnvoll wäre doch dann nur das Folgende



Und da gibt es jetzt nichts mehr zu rechnen, sondern nur zu denken und sich zu erinnern:





Und ich kann dir sagen, was du falsch machst: Du bist ein Formalist, du hantierst mit irgendwelchen Formeln herum, ohne dir über den Sinn dessen, was du tust, Rechenschaft abzulegen. Die einzige Stelle im ganzen Strang, wo du wirklich Sinn hineingebracht hast, war, als du erkanntest, daß es sich bei um einen Kreis handelt. Alles andere kann man vergessen.
Verzeih mir die deutlichen Worte, aber manche Leute brauchen einen kräftigen Boxer auf den Oberarm, damit sie zur Vernunft kommen. Und ich kann dir nur raten, bei allem, was du in der Mathematik tust, erst nach dem Sinn zu fragen, bevor du zu rechnen beginnst. Dann wird das auch besser werden ... Augenzwinkern

Noch einmal: Nicht böse sein! smile
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

huch....
das sind deutliche Worte, aber zu meiner "Verteidigung"...

Das = ergibt ist mir klar. Und das Ergebnis kann man im Kopf berechnen. Mit einer Formel die man wohl schon in der 7 Klasse lernt. .
Dennoch wenn es heisst löse das Intergral, dann löse ich es fachgerecht. Den hier geht es nun um eine Transformation in Polarkoordinaten, die ich beherrschen will.
Um später ein Integral (das nicht so einfach ist wie dieses), es auch berechnen zu können.

Das du mir vorwirfst ich wüsste nicht was dieses Integral als Ergebnis ergibt ist unangebracht, den die Lösung ist hier ja nicht das Ziel (weil Lösung bereits bekannt) sondern der Weg dorthin ist das wichtige.

Und wenn du sagst dann soll ich wohl nach deiner Meinung nach dieses Formel "nur" auswendig lernen und damit ist es getan. Nein damit ist es nicht getan, ich möchte den kompletten Weg können, und deshalb poste ich hier.
Um es ordentlich, fachgerecht von "Profis" zu lernen.

Und ich bin euch dankbar das ihr mir Hilft, dieser Service ist ja schließlich kostenlos, und ihr opfert auch Zeit/Arbeit.


Ich sehe dein Kommentar nicht als negativ an, aber teils stimme ich dir wie du oben lesen kannst nicht zu.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fraggelfragger
Das = ergibt ist mir klar. Und das Ergebnis kann man im Kopf berechnen. Mit einer Formel die man wohl schon in der 7 Klasse lernt. .


Wirklich?
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

Nein vertippt, sry
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Und für den Wert des Integrals Augenzwinkern .
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Und für den Wert des Integrals Augenzwinkern .


Ja, aber die Grenze wird doch indirekt beschrieben mit dem Bereich C.


Also ich bedanke mich bei jedem der geholfen hat, die Aufgabe ist zwar nicht ganz fertig (Ergebnis -ja, Rechenweg -nein) aber ich glaube das ich das noch alleine rausfinde.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ fraggelfragger

Wäre Schadenfreude nicht so eine häßliche Eigenschaft, ich wäre jetzt schadenfroh!

Ganz im Ernst - das beweist gerade meine These, daß du erst rechnest, bevor du nach dem Sinn der Objekte schaust. Du willst das jetzt als Versehen abtun, aber es ist symptomatisch für dein Arbeiten. Es muß in deinem Gehirn zunächst fest verankert werden, daß



eine Fläche berechnet ("Sinn"). Dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß du "versehentlich" statt nimmst ("Formalismus"), geringer.

ERST DER SINN, DANN DER FORMALISMUS.

Du wirst langfristig in Mathematik nur dann erfolgreich sein, wenn du deine Prioritäten anders setzt. Daß ein Mathematiker auch rechnen können muß (Polarkoordinaten und Konsorten), steht dazu nicht im Gegensatz.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, was das Bereichsintegral betrifft, hier eine "Rechnung" dazu, obwohl ich mir schwer vorstellen kann, dass irgendein Prüfer von dir verlangen wird, das wirklich auszurechnen, nachdem es hier ja nur um die doppeltem Fläche eines Kreises mit Radius 1 geht...

Wie gesagt, ist das Integral



gegenüber Verschiebungen des Koordinatenssystems offensichtlich invariant, was man in der Weise ausnützen kann, dass man den Ursprung in den Mittelpunkt des Kreises (mit den alten Koordinaten x=0,y=1) verlegt... Wenn man dann zu den Polarkoordinaten



übergeht und außerdem verwendet, erhält man



Was das Wegintegral betrifft, kannst du es exakt auf dem gleichem Weg ausrechnen, wie ich dir das in deiner letzten Aufgabe vorgerechnet habe, wenn auch die Parameterdarstellung leicht anders aussieht... Eigentlich hast du ja alles dazu schon oben ausgerechnet, aber dein Fehler war, dass du das dann auf das Bereichsintegral, statt das Wegintegral anwenden wolltest... Genau das wollte ich dir weiter oben schon mitteilen, aber es ist irgendwie nicht angekommen...
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