Ungleichung mit Skalarprodukt

09.01.2010, 12:18	mathenudel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit Skalarprodukt hallo zusammen, ich sitze vor einer Ungleichung und weiß nicht, wie ich diese beweisen soll: Voraussetzungen: $\begin{eqnarray} v(u) \end{eqnarray}$ sei ein stetiges Vektorfeld von Tangentialvektoren ungleich null an die $\begin{eqnarray} S^{n-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} m:=min(\|\|v(u)\|\|) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(u) \end{eqnarray}$ sei ein Polynom von $\begin{eqnarray} S^{n-1} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\|p(u) - v(u)\|\|<\frac{m}{2} \forall u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w=p-(p \cdot u)u \end{eqnarray}$ Gezeigt werden soll nun: $\begin{eqnarray} \|\|w-p\|\|=\|p \cdot u\|<\frac{m}{2} \end{eqnarray}$ Ich weiß bereits, dass $\begin{eqnarray} \|\|w-p\|\|=\|p \cdot u\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w \cdot u = 0 \end{eqnarray}$ aber die Ungleichung bekomm ich einfach nicht hin... Habe es schon mittels Dreiecksungleichung probiert, aber ich komme nicht drauf. Kann mir vll. jemand einen Tipp geben? Danke, benni
09.01.2010, 16:03	mathenudel	Auf diesen Beitrag antworten »
habs nun rausbekommen. Dadurch, dass p,w,v ein rechtwinkliges Dreieck bilden folgt: $\begin{eqnarray} \|\|p-w\|\|^2+\|\|w-v\|\|^2=\|\|p-v\|\|^2 \end{eqnarray}$ Mit der Nichtnegativität der Norm also insbesondere: $\begin{eqnarray} \|\|p-w\|\|<=\|\|p-v\|\| \end{eqnarray}$ Und damit: $\begin{eqnarray} \|\|p-w\|\|=\|p \cdot u\|<=\|\|p-v\|\|<frac{m}{2} \end{eqnarray}$ bye, benni

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