Problem mit Stochastik Aufgaben für Klausur

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eey Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit Stochastik Aufgaben für Klausur
Hallo alle zusammen,

hab bald Klausur und versteh leider einige Aufgaben aus alten Klausuren noch nicht so wirklich....
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen:

Aus einer Urne mit 800 schwarzen und 1200 weißen Kugeln 75-mal mit Zurücklegen gezogen.

(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man genau 30 schwarze/weiße Kugeln?
Welche besondere mathematische Bedeutung hat dieser Wert in der benutzten Näherungsfunktion?


(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man höchstens 5 schwarze Kugeln weniger als man erwartet?

So, bei der a fängts schon an, dafür wollte ich halt die Formel benutzen für ziehen mit zurücklegen, das würde dann so aussehen:



Aber wenn ich dass in den Taschenrechner eingeben will bekomm ich nur ERROR, weil die Zahlen viel zu groß werden... Und was meint der mit der "mathematischen Bedeutung der benutzten Näherungsformel"? Gibt es eine Näherungsformel um sowas leichter auszurechnen?


Dann noch ne Aufgabe:

Vitamintabletten enthalten laut Aufschrift der Verpackung im Mittel die Menge von 200 mg Vitamin C.
Wir nehmen an, dass der Anteil des Vitamins normalverteilt mit der Standardabweichung Sigma = 5 mg ist.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Tablette

a) mehr als 215 mg,

b) mindestens 190 aber höchstens 208 mg Vitamin C enthält.

So, ich weiß hier ja meinen Erwartungswert, der ist 200 mg, dann weiß ich meine Standartabweichung die ist 5 mg, also ist die Varianz das Quadrat davon, nämlich 25 mg, aber wie komm ich jetzt mit diesen Größen zu meiner gesuchten Wahrscheinlichkeit?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zum ersten: Man kann verschiedene Verteilungen auf verschiedene Weisen approximieren, die hypergeometrische zum Beispiel durch die Binomialverteilung. Hier eine Tabelle dazu. Sagt dir das etwas?

Zum zweiten:

Stimmt doch alles, bei a) suchst du



Wäre X standardnormalverteilt, wäre es kein Problem, dann könntest du einfach in einer Tabelle nachschauen. Du musst also die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung nutzen und das Argument linear transformieren.
eey Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mr. Brightside
Zum ersten: Man kann verschiedene Verteilungen auf verschiedene Weisen approximieren, die hypergeometrische zum Beispiel durch die Binomialverteilung. Hier eine Tabelle dazu. Sagt dir das etwas?



Perfekt, genau sowas hatte ich gesucht! Das Beispiel bei Wikipedia verstehe ich aber noch nicht ganz, also das mit den Chips. Da hat man ja auch den Fall dass man extrem große Binomiakoeffizienten hat und die nähern das dann halt an, aber woher wissen die in dem Beispiel die Wahrscheinlichkeiten 0,8 und 0,2 ? Die waren ja nirgends gegeben...

Wie müsste dass dann bei meinem Beispiel ausssehen? So vielleicht?



?

Da kommt aber knapp 200 raus, das kann also eigentlich nicht sein.... verwirrt

Zitat:
Original von Mr. Brightside
Zum zweiten:

Stimmt doch alles, bei a) suchst du



Wäre X standardnormalverteilt, wäre es kein Problem, dann könntest du einfach in einer Tabelle nachschauen. Du musst also die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung nutzen und das Argument linear transformieren.


Ähmmmm, kannst du mir vielleicht noch irgendeinen tipp geben...? Wie kann ich dass denn linear transformieren?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss sagen, dass ich bei a) momentan keinen Fehler entdecken kann. Ich lass mir das noch mal durch den Kopf gehen ...

Bei b) sag ich es dir einfach mal (ausnahmsweise) Augenzwinkern :

Wir haben hier . Dann ist . Das gilt aufgrund der Eigenschaften des Erwartungswertes und der Varianz. Betrachte also dieses Y. Nach X umgestellt haben wir dann:

Also:

Jetzt von dem Y noch das Sigma und das Mü durch Multiplikation und Subtraktion wegbekommen und dann kannst du in der Tabelle nachgucken.
eey Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mr. Brightside
Ich muss sagen, dass ich bei a) momentan keinen Fehler entdecken kann. Ich lass mir das noch mal durch den Kopf gehen ...



Schon irgendeine Idee für die a)? An der b) rechne ich noch rum, sag morgen dann mal mein Ergebniss...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eey
Wie müsste dass dann bei meinem Beispiel ausssehen? So vielleicht?



?

Da kommt aber knapp 200 raus, das kann also eigentlich nicht sein.... verwirrt

Das ist ja auch leicht falsch!
Wenn man bei 75 Ziehungen genau 30 schwarze Kugeln haben will, muss man zwangsläufig genau 45 weiße Kugeln haben. Korrekt ist also:



Dann kommt auch ein vernünftiger Zahlenwert heraus.


Mit Näherungsfunktion ist wohl gemeint, dass man die Binomialverteilung für genügend großes n durch die Normalverteilung annähern kann. Dabei ergibt sich, dass hier für die Näherung eine Normalverteilung mit zu nehmen ist. Das ist offenbar mit der besonderen Bedeutung von 30 für benutzte Näherungsfunktion gemeint.
 
 
eey Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok jetzt hab ichs verstanden... Ergebniss ist dann ungefähr 9,37%

Hab hier aber noch ne relativ ähnliche Aufgabe, die ich aber schon wieder nicht verstehe unglücklich

Die Wahrscheinlichkeit für eine Knabengeburt beträgt 51,4%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 1000 Neugeborenen

a) höchstens 520 Jungen
b) mindestens 516 Jungen
c) mehr als 460 und weniger als 500 Mädachen?

Tja, hier hab ich wieder so große Zahlen, wie ich das jetzt mit Binomialkoeffizienten ausrechnen kann weiß ich ja jetzt, aber wie soll ich das bei "höchstens" oder "mindestens" machen? Dafür bräuchte ich (bei a zum Beispiel) ja die Wahrscheinlichkeiten von 0 bis 520 und müsste diese dann addieren! Das kann aber nicht sein, weil dann würd ich ja 3 Stunden für die Aufgabe brauchen.....

Wie kann man das einfacher rechnen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das Addieren sollte nicht das Problem sein. Wenn ein wissenschaftlicher Taschenrechner die Binomialverteilung kennt, dann kennt er auch die kumulative Binomialverteilung, d. h. er addiert automatisch, wenn du die Funktion korrekt aufrufst.

Bei dieser Aufgabe ist aber sicher daran gedacht, dass man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern soll. Und daher habt ihr das sicher durchgenommen. Schau es dir mal an. Wenn es dann noch Probleme gibt, sehen wir weiter.
eey Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, hab das mal so gemacht, und komme dann mit folgendem:




und



auf:






So, stimmt das bis hierhin? Und wie kann ich jetzt weitermachen? Weil ich hab zwar so ein Tafelwerk der Stochastik, aber da gehts nur bis 4, hier muss ich aber Phi von 22,21 und von-23,49 ausrechnen, wie geht das?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Mir scheint, du musst dir auch noch mal klar machen, was die einzelnen Größen der Binomialverteilung bedeuten. Bei dieser Aufgabe ist doch der Stichprobenumfang n = 1000 und nicht n = 520. 520 ist bei a) die maximale Anzahl der Erfolge, d. h. 520 ist das maximale k, bis zu dem die Terme addiert werden müssen. Mit der (kumulativen) Binomialverteilung hätte man daher:



Jetzt musst du mit dem korrigierten n und neu berechnen. Dann ist mit der Normalverteilung zu berechnen:



Da ist nichts mehr abzuziehen.
Erst bei c) taucht dann eine Differenz von zwei Werten der Normalverteilung auf.
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