Diophantische Gleichung - Problem |
| 09.01.2010, 13:09 | TheBoss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Diophantische Gleichung - Problem 12x + 18y = 40 Diese Gleichung soll keine Lösung in der Grundmenge N x N haben, was anhand der Teilbarkeit natürlicher Zahlen gezeigt werden soll. Ich habe gelesen, dass die Gleichung für Zahlen der Menge Z x Z dann lösbar ist, wenn hier 40 ein Vielfaches des ggt von 12 und 18 ist.. Gilt das auch für die Menge N x N oder auf was muss ich da schauen? Bitte um Antwort! |
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| 09.01.2010, 13:19 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Teile doch einfach mal durch 6. |
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| 09.01.2010, 15:05 | TheBoss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
6 ist ja der ggT .. Und 40 lässt sich nicht durch 6 teilen.. Aber warum sollte ich nun durch 6 teilen? |
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| 09.01.2010, 15:29 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dumme Frage, 6 teilt doch die linke Seite der Gleichung, wenn x und y ganzzahlige Lösungen sind, oder etwa nicht? |
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| 09.01.2010, 15:51 | TheBoss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, aber wie schließe ich daraus, dass es für die Gleichung keine natürliche Zahl gibt, die 40 teilt? Eben weil nur das Teilen der rechten Seite ganzzahlige Lösungen gibt und auf der rechten Seite nicht? |
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| 09.01.2010, 16:55 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schau mal. Die Gleichung ist äquivalent zu . Das sieht man, wenn man durch 6 teilt. Und nun ist die linke Seite wegen auf jeden Fall eine natürliche Zahl. Die rechte Seite aber nicht. |
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| 09.01.2010, 16:57 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Noch einmal: Gäbe es ganzzahlige Lösungen x und y, so würde 6 die linke Seite der Gleichung 12x+18y=40 teilen und damit auch die rechte Seite... Du brauchst also nur noch zu überprüfen, welche der beiden Aussagen wahr ist (1) 6 ist Teiler von 40. (2) 6 ist nicht Teiler von 40. Im Fall von (2) kann es nach obigem keine ganzzahligen Lösungen x und y geben... Im Fall von (1) müßte man sich das Ganze noch genauer anschauen, wenn man jetzt nur ganz naiv an die Sache herangeht und sich nicht auf allgemeine Sätze der Zahlentheorie beruft... Edit: Sry tmo, hab deine Antwort noch nicht gesehen, als ich meine schrieb... |
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| 09.01.2010, 18:52 | TheBoss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ tmo: Warum hast du ausgerechnet durch 6 geteilt? Weil es der ggT ist oder hätte man auch eine andere Zahl wie z.B. die 3 nehmen können? @ Mystic: Du beziehst dich auf ganze Zahlen, wenn ich dich richtig verstehe... Ich bezog mich allerdings nur auf natürliche Zahlen! |
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| 09.01.2010, 19:49 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn es nicht einmal Lösungen in gibt, so gibt es dann doch erst recht keine Lösungen in der kleineren Menge , logo? |
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| 09.01.2010, 21:18 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Solche Frage verstehe ich einfach nicht...Teile doch einfach mal durch 3. Dann siehst du doch, ob das auch klappt. Und ja, ich habe durch 6 geteilt, weil dieser der ggT von 12 und 18 ist. |
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