schweres uneigentliches Integral

09.01.2010, 15:19

bandchef

schweres uneigentliches Integral

Hallo Leute!

Ich soll dieses uneigentliche Integral berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! \frac{1}{x^2}*ln(x^2+1) \, dx \end{eqnarray*}$

Ich hab von meinen Berechnungsschritten ein Bild unten angehängt.

Ich hab dazu allerdings einige Fragen.

1. Warum muss ich t->oo und s->0 gehen lassen? (Das wurde uns in der FH so vorgegeben...)

2. Wie kann ich mir erklären, dass $\begin{eqnarray*} -\frac{ln(t^2+1)}{t} \end{eqnarray*}$ gegen "0" geht? Ich hab das so ein bisschen aus dem Bauch heraus gemacht weil ja der ln das eingesetzte Unendlich wesentlich kleiner macht als das Unendlich durch das der ln geteilt wird...

3. Warum geht 2*arctan(t) gegen $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

4. Woher weiß ich, dass 2*arctan(s) gegen "0" geht?

Könnt ihr mir weiterhelfen?

danke, bandchef

09.01.2010, 15:30

Cel

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Mhhh ... das sieht mir alles ein bisschen komisch aus. Ich denke, das t und das s müssen an den Integralgrenzen stehen, nach Definition des uneigentlichen Integrals lässt man die dann gegen Unendlich bzw. 0 gehen. Das wäre also Punkt 1.

Punkt 2: Das folgt mit der Regel von de l'Hospital

Punkt 3 und 4: Nun, schau dir mal den Graphen von arctan(x) an, wir haben da nie viel zu gesagt, sondern als bekannt voraussgesetzt.

09.01.2010, 15:33

Q-fLaDeN

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RE: schweres uneigentliches Integral

Zitat:

Original von bandchef
1. Warum muss ich t->oo und s->0 gehen lassen? (Das wurde uns in der FH so vorgegeben...)

Weil man weder das Symbol "Unendlich" noch die Zahl 0 in die Stammfunktion einsetzen kann geschweige denn darf. Ein Integral mit den Grenzen unendlich, bzw. mit einer von beiden Grenzen die unendlich ist, ist so definiert:

$\begin{eqnarray*} \int_{x_0}^\infty~f(x)~\dd x = \lim_{t \to \infty} \int_{x_0}^t~f(x)~\dd x \end{eqnarray*}$

Daran siehst du auch, dass dein Aufschrieb in der 2. Zeile schon Humbug ist.

Zitat:

Original von bandchef
2. Wie kann ich mir erklären, dass $\begin{eqnarray*} -\frac{ln(t^2+1)}{t} \end{eqnarray*}$ gegen "0" geht? Ich hab das so ein bisschen aus dem Bauch heraus gemacht weil ja der ln das eingesetzte Unendlich wesentlich kleiner macht als das Unendlich durch das der ln geteilt wird...

Das geht nicht gegen 0, sondern es geht nur für $\begin{eqnarray*} t \to \infty \end{eqnarray*}$ gegen 0, bitte achte auf solche Dinge.
Dass $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty}~-\frac{ln(t^2+1)}{t} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt, kannst du z. B. mit l'Hospital zeigen. Oder auch durch geeignete Substitution. Außerdem gibt es sicher auch noch andere Wege das zu zeigen.

Zitat:

Original von bandchef
3. Warum geht 2*arctan(t) gegen $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

Gleicher Fehler wie bei 2.
Denk dabei mal an den Tangens, dann ist es ganz einfach zu sehen.

Zitat:

Original von bandchef
4. Woher weiß ich, dass 2*arctan(s) gegen "0" geht?

Gleicher Fehler wie bei 2., es geht nur für $\begin{eqnarray*} s \to 0 \end{eqnarray*}$ gegen 0. Auch hier kannst du mal den Tangens als Hilfe benutzen.

09.01.2010, 15:54

bandchef

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zu meiner Frage 1:

Zitat:

Wenn bei 1/x^2 nun noch ein Summand z.b. 1 dabei stehen würde, dann dürfte ich aber die untere Grenze "0" einsetzen, oder?

Warum soll ich den Tangens benutzen (also du meinst wahrscheinlich den Graphen anschauen...), es handelt sich doch um den arctan, oder?

danke, bandchef

09.01.2010, 16:09

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von bandchef
zu meiner Frage 1:

Zitat:

Wenn bei 1/x^2 nun noch ein Summand z.b. 1 dabei stehen würde, dann dürfte ich aber die untere Grenze "0" einsetzen, oder?

Falls du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ meinst, dann ja.

Zitat:

Original von bandchef
Warum soll ich den Tangens benutzen (also du meinst wahrscheinlich den Graphen anschauen...), es handelt sich doch um den arctan, oder?

Ja es handelt sich um den arctan, man kann sich aber trotzdem den Tangens ansehen, denn diese beiden Funktionen haben eine ganz besondere Verbindung: Sie sind Umkehfunktionen, wie du sicher weißt.

Da wir Funktion und Umkehfunktion betrachten, schränken wir uns beim Tangens auf eine Periode ein, und zwar $\begin{eqnarray*} x \in ]-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}[ \end{eqnarray*}$

Warum hab ich hier die Stellen $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen? Was folgt aus der Betrachtung der Tangensfunktion mit angegebenem Definitionsbereich, für die Umkehrfunktion, also den arctan?

09.01.2010, 16:27

bandchef

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$\begin{eqnarray*} 2*tan(x) \end{eqnarray*}$ wird in $\begin{eqnarray*} x \in ]-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}[ \end{eqnarray*}$ bei "0" gleich 0.

Darf ich also hieraus deshalb dann Folgern, dass für s->0 $\begin{eqnarray*} 2*arctan(x) \end{eqnarray*}$ gleich 0 wird?

Ich hab mir dann mal schnell noch den $\begin{eqnarray*} 2*arctan(x) \end{eqnarray*}$ zeichnen lassen. Dieser wird $\begin{eqnarray*} x \in ]-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}[ \end{eqnarray*}$ bei "0" genauso gleich 0. Was ich ja erwartet habe wenn ich es wie oben schon geschrieben hab Folgern darf...

Das gleiche gilt ja auch für t->oo. Sehe ich das richtig?

Kann man dann also generell sagen, dass sich trigonometrische Funktionen und trigonometrische Umkehrfunktionen bei Grenzwertbetrachung gleich verhalten?

EDIT: Ich hab mir jetzt grad mal noch die cos bzw. arccos Funktion angesehen und dabei festgestellt, dass man es nicht generell sagen kann. Gibts denn dann eine andere allgemeingültige Antwort? Fürn tan bzw. arctan isses mir jetzt klar. Aber allgemein gesehen auch auf die anderen trigonometrischen Funktionen bezogen hab ichs nicht verstanden....

danke, bandchef

09.01.2010, 16:40

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von bandchef
$\begin{eqnarray*} 2*tan(x) \end{eqnarray*}$ wird in $\begin{eqnarray*} x \in ]-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}[ \end{eqnarray*}$ bei "0" gleich 0.

Ja, es gilt $\begin{eqnarray*} \tan 0 = 0 \Rightarrow \arctan 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von bandchef
Darf ich also hieraus deshalb dann Folgern, dass für s->0 $\begin{eqnarray*} 2*arctan(x) \end{eqnarray*}$ gleich 0 wird?

Nein, du darfst aber daraus folgern, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{s \to 0}~\arctan (s) = \arctan 0 = 0 \end{eqnarray*}$ ist Augenzwinkern

Zitat:

Original von bandchef
Das gleiche gilt ja auch für t->oo. Sehe ich das richtig?
Kann man dann also generell sagen, dass sich trigonometrische Funktionen und trigonometrische Umkehrfunktionen bei Grenzwertbetrachung gleich verhalten?

Nein, das stimmt beides nicht.

Der Tangens hat bei $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ eine Polstelle (!). Da der Definitionsbereich der Ausgangsfunktion gleich dem Wertebereich der Umkehrfunktion ist, hat der Arkustangens einen Werte bereich von $\begin{eqnarray*} D(f) =~]-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}[ \end{eqnarray*}$

Und die Polstelle der Ausgangsfunktion geht in den Grenzwert der Umkehfunktion über.
Es gilt also

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty}~\arctan(t) = \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \lim_{t \to \infty}~2\arctan(t) = \pi \end{eqnarray*}$

09.01.2010, 16:52

bandchef

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Das heißt jetzt für mich nochmal selbst wiederholt:

Wenn ich die Ausgangsfunktion hier den tan im Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} x \in ]-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}[ \end{eqnarray*}$ zeichnen lasse, dann bekomm ich eine Polstelle bei $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ . Der Definitionsbereich von tan gibt mir den Wertebereich von arctan an und die Polstelle des tan wird zum Grenzwert vom arctan.

Ist das jetzt so richtig?

Aber woher weiß ich, dass ich mir als erstes den tan und nicht arctan ansehen muss, obwohl doch nach dem Grenzwert des arctan gefragt ist?

danke, bandchef

09.01.2010, 17:00

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von bandchef
Wenn ich die Ausgangsfunktion hier den tan im Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} x \in ]-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}[ \end{eqnarray*}$ zeichnen lasse, dann bekomm ich eine Polstelle bei $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

Nein, $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ist ja gar nicht im gezeichneten Bereich drin, also kannst du auch nicht sehen, dass da eine Polstelle ist, nur vermuten. Aber ist natürlich klar, was du meinst.
Du kannst dir auch einfach die "komplette" Tangensfunktion zeichnen lassen, da siehst du ja die Polstellen auch.

Beachte: Der Arkustangens ist nicht die Umkehfrunktion des Tangens, sondern der Arkustangens ist die Umkehfunktion des Tangens im Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} D(f) =~]-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}[ \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von bandchef
Aber woher weiß ich, dass ich mir als erstes den tan und nicht arctan ansehen muss, obwohl doch nach dem Grenzwert des arctan gefragt ist?

Warum sollte man das denn nicht machen? Man weiss eben, dass man das aus dem Tangens folgern kann, also schaut man sich den eben mal an.

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