Nullfolgen und eine Fkt

09.01.2010, 17:24

DOZ ZOLE

Nullfolgen und eine Fkt

Hallo,
ich stehe gerade vor folgender aufgabe und mir fehlt iwie ne idee wie man daran geht.
es geht um diese funktion:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R, \ x \mapsto \begin{cases} x^2+x^2 \sin \left(\frac{1}{x} \right), \ \ x \neq 0 \\ 0, \ \ x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

von der funktion ist bekannt das sie diff'bar ist und ein globales minimum in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ hat.

und nun soll folgendes geschehen:

Zitat:

Zeigen sie, dass Nullfolgen $\begin{eqnarray*} (x_k)_{k\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y_k)_{k\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ existieren mit $\begin{eqnarray*} x_k<0<y_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x_k)>0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f'(y_k)<0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

wie kann man an sowas rangehen?

MfG
DOZ ZOLE

09.01.2010, 17:39

tmo

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Wie lautet denn die Ableitung? Die brauchen wir ja hier offensichtlich.

09.01.2010, 17:48

DOZ ZOLE

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also die ableitung ist

$\begin{eqnarray*} f':\mathbb R \rightarrow \mathbb R, \ x \mapsto \begin{cases} -\cos \left( \frac{1}{x} \right) +2x \sin \left( \frac{1}{x} \right) +2x, \ \ x \neq 0 \\ 0, \ \ x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

09.01.2010, 22:13

tmo

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Wähle mal $\begin{eqnarray*} y_k = \frac{1}{2\pi k} \end{eqnarray*}$

10.01.2010, 11:40

DOZ ZOLE

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ok wenn ich deien folge $\begin{eqnarray*} (y_k)_{k\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ in die ableitung erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} -\cos \left(2\pi k \right) + \frac{\sin \left(2\pi k\right)}{\pi k}+ \frac{1}{\pi k}=-\cos \left(2\pi k \right)+ \frac{1}{\pi k}=\frac{1}{\pi k} -1<0 \end{eqnarray*}$

aber hier hab ich doch nen problem für k=0 oder?

10.01.2010, 11:49

tmo

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Zitat:

Original von DOZ ZOLE
aber hier hab ich doch nen problem für k=0 oder?

Wenn bei euch $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt, ist dies in der Tat der Fall?

Wie können wir das denn jetzt lösen?

10.01.2010, 12:07

DOZ ZOLE

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ja bei uns is $\begin{eqnarray*} 0\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

könnte man deine nicht so ändern: $\begin{eqnarray*} \left(y_k\right)_{k\in \mathbb N} =\frac{1}{2\pi\left(k+1\right) } \end{eqnarray*}$

dann wäre die eingesetzt in die ableitung nähmlich:

$\begin{eqnarray*} -\cos\left(2\pi k\right) +\frac{\sin\left(2\pi k \right) }{\pi\left(k+1\right) } +\frac{1}{\pi\left(k+1\right)}= \frac{1}{\pi\left(k+1\right)}-1 \end{eqnarray*}$

10.01.2010, 12:21

tmo

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Genau.

Jetzt noch eine geeignte Folge $\begin{eqnarray*} (x_k) \end{eqnarray*}$ zu finden, sollte dir gelingen, oder?

10.01.2010, 12:40

DOZ ZOLE

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meine idee wäre jetzt $\begin{eqnarray*} \left(x_k\right)_{k\in \mathbb N}=-\frac{2}{\left(2k+1\right)\pi } \end{eqnarray*}$ zu nehmen aber ich habs gerade mal eingesetz und das geht nicht auf

10.01.2010, 12:51

tmo

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Überleg doch mal was ich gemacht habe, als ich die Folge konstruiert habe.

Ich habe den Summand mit dem Sinus 0 werden lassen und den Summand mit dem Cosinus möglichst groß werden lassen. Da es ne Nullfolge ist, spielt der Summand 2x eh fast keine Rolle.

Du musst das jetzt übertragen auf die Folge, die du jetzt kosntruieren sollst.

10.01.2010, 13:25

DOZ ZOLE

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also ich hab jetzt was passendes gefunden denk ich:

$\begin{eqnarray*} \left(x_k\right)_{k\in \mathbb N}=\frac{1}{\left(-2k-1\right)\pi } \end{eqnarray*}$

dann is nähmlich

$\begin{eqnarray*} f'\left(\left(x_k\right)_{k\in \mathbb N} \right)= \cos \left(2 \pi k\right) - \frac{2 \sin \left(2 \pi k \right) }{\pi \left(2k+1 \right) } - \frac{2}{\pi \left(2k+1 \right) } = 1- \frac{2}{\pi \left(2k+1 \right) } >0 \end{eqnarray*}$

jetzt sollte das passen oder?

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