Transformation von Kugelkoordinaten (Jacobi-Matrix)

09.01.2010, 21:39	Helena	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformation von Kugelkoordinaten (Jacobi-Matrix) Hallo, zuerst mal die Aufgabe: Die Kugelkoordinaten sind gegeben durch die Transformation $\begin{eqnarray} <br /> x = r cos(a) sin(b)<br /> y = r sin(a) sin(b)<br /> z = r cos(a)<br /> \end{eqnarray}$ Berechnen Sie die Transformationsmatrix. Nun versuche ich, die Transformationsmatrix mit der Jacobi-Matrix zu bestimmen. Bei einer 2x2-Matrix als Ergebnis ist es noch klar, aber ich finde nirgends den Rechenweg für eine 3x3 Matrix. Bei Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten#Jacobi-Matrix) verstehe ich das Beispiel auch nicht. Ich hab schon Stunden nach einer Erklärung gesucht, aber ich weiß nicht einmal, wie ich vorgehen muss. Danke im Voraus, Helena
09.01.2010, 22:21	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformation von Kugelkoordinaten (Jacobi-Matrix) $\begin{eqnarray} a = \theta \quad b = \varphi \end{eqnarray}$ (vgl. den angegeben Link)
09.01.2010, 22:58	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformation von Kugelkoordinaten (Jacobi-Matrix) Es ist nicht wirklich klar, was dir unklar ist Verstehtst du nicht, was und wonach man ableiten muss oder was man danach mit dem Ergebnis machen muss? Leite erstmal deine 3 Terme nach r, das wird die erste Spalte sein. Danach nach a, das wird die 2. spalte sein und danach nach b, das wird die 3. Spalte sein. Wenn du das hast, muss du die Determinante der Matrix bestimmen. dazu kannst du das hier verwenden http://de.wikipedia.org/wiki/Sarrusregel Danach kommt eine laaange Rechnung, wo sich alles schön vereinfach, wenn man richtig ausklammert.
10.01.2010, 00:02	Helena	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antworten. Ich hätte die Aufgabe nun wie folgt gelöst: $\begin{eqnarray} <br /> x = r cos(a) sin(b)<br /> y = r sin(a) sin(b)<br /> z = r cos(a)<br /> \end{eqnarray}$ Wird transformiert zu $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} cos(a) sin(b) &-rsin(a)sin(b) &rcos(a)cos(b) \\ sin(a)sin(b) & rcos(a)sin(b) & rsin(a)cos(b) \\ cos(a) & -rsin(a) & 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$ Also wie Rmn sagte, erste Spalte nach r abgeleitet, 2.Spalte nach a, 3.Spalte nach b. Dann stimmt das so? Das gelinkte Beispiel bei Wikipedia hält sich nämlich nicht an diese Vorgehensweise, das hat mich verwirrt. (Bin gerade dabei, die Determinante auszurechnen)
10.01.2010, 00:22	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Wart mal, bevor du weiter rechnest, bist du dir sicher, dass es $\begin{eqnarray} <br /> x = r cos(a) sin(b)<br /> y = r sin(a) sin(b)<br /> z = r cos(a)<br /> \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} <br /> x = r cos(a) sin(b)<br /> y = r sin(a) sin(b)<br /> z = r cos(b)<br /> \end{eqnarray}$ in der Aufgabe steht?
10.01.2010, 00:33	Helena	Auf diesen Beitrag antworten »
@Rmn: ja, ich habe gerade eben noch mal nachgeschaut und es steht $\begin{eqnarray} z=rcos(a) \end{eqnarray}$ da. Wobei es durchaus möglich ist, dass mein Prof da einen Tippfehler gemacht hat. Ich rechne es mal mit der anderen Möglichkeit durch. Bei der Determinante bekomme ich $\begin{eqnarray} -r² cos(a) sin(b) cos(b) \end{eqnarray}$ heraus, habs mit Matlab überprüft und da kam das Gleiche raus. Teil 2 meiner Aufgabe lautet aber: "Zeigen Sie, dass die Jacobideterminante folgendes Format hat: $\begin{eqnarray} J(r, a, b) = r² sin(b) \end{eqnarray}$ Naja, $\begin{eqnarray} r²sin(b) \end{eqnarray}$ ist durchaus dabei, aber ich sollte doch genau $\begin{eqnarray} J(r, a, b) = r² sin(b) \end{eqnarray*}$ herausbekommen?
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10.01.2010, 00:39	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da scheint ein Tippfehler zu sein, daher kommt auch das falsche raus. Das Minuszeichen hast du, weil du nach r, a, b abgeleitet hast und nicht nach r, b, a, wie ich geschrieben habe. Das kommt daher, dass wenn du Spalten in der Matri verstausch, ändert sich das Vorzeichen, aber das ist nicht so ein Problem, wie dieser Tipppfehler. Versuche einfach mit $\begin{eqnarray} <br /> x = r cos(a) sin(b)<br /> y = r sin(a) sin(b)<br /> z = r cos(b)<br /> \end{eqnarray}$ dann soll das richtige rauskommen.
10.01.2010, 01:10	Helena	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, danke, jetzt hab ich es hingekriegt. Nochmal vielen Dank, ohne dich hätte ich noch Tage lang weiterrechnen können, ohne zu wissen, dass nur die Aufgabe nen kleinen Fehler enthält.

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