Stoppzeiten

09.01.2010, 22:27	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
Stoppzeiten Hallo, ich komme grade bei einer Aufgabe nicht weiter. Vielleicht kann mir jemand etwas weiterhelfen. Sei $\begin{eqnarray} (\Omega , \mathcal F , P) \end{eqnarray}$ ein W-Raum und $\begin{eqnarray} (X_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ eine Folge unabh. ident. ZV mit $\begin{eqnarray} P (X_n =1 ) = P(X_n=-1 ) = 0.5 \end{eqnarray}$ . Der W-Raum wird mit der Filtration $\begin{eqnarray} \mathcal F_n = \sigma ( X_j : 1 \leq n \leq n ) \end{eqnarray}$ ausgestattet. $\begin{eqnarray} V_n := \sum_{j=1}^{n} 2^{j-1} X_j \end{eqnarray}$ ist ein Prozess für n>=1 . $\begin{eqnarray} \tau := min\hspace{0.5cm}\left\{n \geq : X_n = 1 \right\} \end{eqnarray}$ ist eine Stoppzeit. Wir spielen hier ein Münzwurfspiel. Ab hier geht es dann richtig los. V_n ist ein Martingal was man schnell nachprüfen kann und beschreibt die Strategie eines Spielers. Der Spieler setzt jede Runde immer den doppelten Betrag. (Der Spieler darf so viel Geld leihen wie er will ) $\begin{eqnarray} (V_{\tau \land n} )_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ beschreibt folgende Strategie. Es wird so lange das doppelte gesetzt bis man gewinnt (sagen wir bis Kopf erscheint ) . Ich hoffe die Strategien hab ich richtig interpretiert. Nun soll folgendes berechnet werden. $\begin{eqnarray} E( V_{\tau \land n} ) = E( \sum_{j=1}^{n} 1_{\left\{\tau = j \right\}} V_j+ 1_{\left\{\tau=n \right\} }V_n ) \end{eqnarray}$ für n>=1 Als Hinweis steht da noch: $\begin{eqnarray} V_j \end{eqnarray}$ ist konstant auf der Menge $\begin{eqnarray} \left\{\tau=j\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V_n \end{eqnarray}$ ist konstant auf $\begin{eqnarray} \left\{\tau \geq n \right\} \end{eqnarray}$ Jedoch weiß icht nicht wie ich das angehen kann und der Hinweis ist mir auch nicht klar.
11.01.2010, 14:10	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stoppzeiten Also so wie ich das verstehe, wird das klassische Petersburgerspiel gespielt. Man setzt am anfang 1 Geldeinheit und verdoppelt nach jedem Spiel. Daher die Form für V_n. Man spielt solange, bis man einmal gewinnt, daher die Form der Stoppzeit. Es gibt einen Satz, der sämtliche Rechnungen unnötig macht, dass Optional Stopping Theorem. Dieser besagt: Ist $\begin{eqnarray} V_n \end{eqnarray}$ ein Martingal und $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ eine Stoppzeit, so ist auch $\begin{eqnarray} V_{n \wedge \tau} \end{eqnarray}$ ein Martingal. Ansonsten gilt: Wird das spiel im j-ten Zug beendet, ist also $\begin{eqnarray} \tau=j \leq n \end{eqnarray}$ so hat man $\begin{eqnarray} 2^{j-1} \end{eqnarray}$ Geldeinheiten gewonnen und $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^{j-2} 2^i=2^{j-1}-1 \end{eqnarray}$ Geldeinheiten verloren. Insgesammt also 1 Geldeinheit gewonnen. Verliert man aber nur bis zum n-ten Zug, ist also $\begin{eqnarray} \tau > n \end{eqnarray}$ , so hat man $\begin{eqnarray} 2^{n}-1 \end{eqnarray}$ Geldeinheiten verloren. Ist die Aufgabe jetzt klarer?
12.01.2010, 01:43	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
Der EW in dem Fall sollte ja nach Optional Stopping 0 sein ?
12.01.2010, 13:26	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Und das kommt ja auch beim EW raus. Dabei verwendet man einfach, dass $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^n q^i = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(\sum_{i=1}^{n} 1_{(\tau = i)} V_i + 1_{(\tau > n)} V_n ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum_{i=1}^n P(\tau = i)\cdot 1 + P(\tau > n)\cdot (-2^n+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 2 - 2^{-n} - 1 + 2^{-n} \cdot (-2^n + 1) = 0 \end{eqnarray}$

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