Unterschied 3-Punkte-Form und Punkt-Richtungsform

09.01.2010, 23:36	Karatepro	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterschied 3-Punkte-Form und Punkt-Richtungsform Hallo an alle, mal wieder ein Vektor-Problem meinerseits Ich hänge grad bei dem Thema "Ebenen im Raum"... Wir haben einmal die 3-Punkte-Form aufgeschrieben : $\begin{eqnarray} \vec{x} = \vec{a}+ \lambda (\vec{b}- \vec{a})+ \beta (\vec{c}- \vec{a}) \end{eqnarray}$ und die Punkt-Richtungs-Form $\begin{eqnarray} \vec{x} = \vec{a}+ \lambda \cdot \vec{v}+ \beta \cdot \vec{w} \end{eqnarray}$ Ich habe die drei Punkte A (1/2/3), B(2/-1/0) und C(0/0/1)und soll davon einmal die 3-Punkte-Form und die Punkt-Richtungsform angeben. 3-Punkte-Form: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ - 3 \\ - 3 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} - 1 \\ - 2 \\ - 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Stimmt das denn? So und wenn ich die Punkt-Richtungsform angeben soll, muss ich doch die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{w} \end{eqnarray}$ auf die selbe Art berechnen wie die Punkte in der oberen Form (also b-a und c-a), oder habe ich da einen Denkfehler drinnen? So, und dann noch eine letzte Frage: Mein Lehrer hat uns Übungsaufgaben mit Lösungen von ihm gegeben (eben die ist auch dabei) und bei ihm steht bei der 3-Punkte-Form folgendes: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} - 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber das ist doch falsch oder?Das wiederspricht sich ja mit der allgemeinen Darstellung der 3-Punkte-Form?? Dann hätte er statt (b-a) und (c-a) das ja genau umgekehrt gerechnet...?? Oder habe ich einen Fehler bei meiner Form?? Ich kann ihn selber nicht mehr fragen, da die nächste Stunde gleich Klausur ist..Das ist mir jetzt nur grad aufgefallen, weil meine Ergebnisse nie mit seinen übereingestimmt haben.. Über Hilfe wär ich sehr dankbar, weil ich keine Lust hab in der Klausur wegen sowas Fehler zu kassieren... Danke schonmal! LG
09.01.2010, 23:50	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterschied 3-Punkte-Form und Punkt-Richtungsform Ja, deine 3-Punkte-Form stimmt (es fehlt nur noch « x = »). Nein, du machst keinen Denkfehler. Die beiden Formen (so wie du sie präsentierst) sehen im konkreten Fall (mit Zahlen) genau gleich aus. Kein Unterschied! Aber: Das sind keine eindeutigen Gebilde zur Beschreibung einer (eindeutigen!) Ebene. Man kann ja die Punkte durch andere auf der Ebene austauschen. Oder man kann bloss die Reihenfolge der Punkte ändern. Dann ändert sich die Gleichung (aber nicht die damit beschriebene Ebene). Bei der Punkt-Richtungsform kann man die beiden Richtungsvektoren v und w strecken und umkehren. Genau diese Umkehrung (andere Vorzeichen) kommt ja vor (und ist korrekt).
10.01.2010, 00:09	Karatepro	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterschied 3-Punkte-Form und Punkt-Richtungsform Danke Ja, das sie nicht eindeutig sind haben wir auch gelernt! Nur für diese Aufgabenstellung würde es also reichen die Formen, so wie ich sie mir gedacht hab oder? Wäre denn die parameterfreie Form eine eindeutige Lösung? Bei Geraden im Raum ist es dann dasselbe Prinzip mit der 2-Punkte-Form und der Punkt-Richtungsform, sehe ich das richtig? Klasse wenn man vom Lehrer falsche Lösungen bekommt... Und ich dachte ich mach alles falsch
10.01.2010, 00:19	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterschied 3-Punkte-Form und Punkt-Richtungsform Ich denke, dass es reicht. Aber die Lehrer-Lösungen sind nicht falsch! Es sind beide Formen, deine und jene des Lehrers richtig. Auch die parameterfreie Form, die sogenannte Koordinatengleichung der Ebene (a x + b y + c z + d = 0) ist nicht eindeutig: Man kann sie mit einer Zahl (nicht 0) multiplizieren. Bei Geraden in der Ebene ist alles ganz analog wie bei der Ebene im Raum. Bei Geraden im Raum gibt es jedoch keine Koordinatengleichung! (aber ein Koordinatengleichungssystem, wenn man sie als Schnittgerade zweier Ebenen auffasst)
10.01.2010, 00:40	Karatepro	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterschied 3-Punkte-Form und Punkt-Richtungsform ok, gut^^ Die Aufgabenstellung lautet: Geben sie eine Gleichung der Ebene E mit reellen Parametern an, die durch die Geraden aufgespannt wird. (und dann sind die Punkte gegeben) Sind deshalb beide Lösungen richtig mal abgesehen davon, dass sie beide nicht eindeutig sind) Im Grunde zeigen seine Vektoren ja nur in die andere Richtung als meine... Ich dachte halt, wenn nach so einer Gleichung gefragt wird, muss man eben die Form angeben... Und wenn ich mich an die allgemeine Form halte, erscheint mir nur meine Lösung richtig, da dort nunmal b-a und c-a steht...
10.01.2010, 10:19	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterschied 3-Punkte-Form und Punkt-Richtungsform Vermutlich hat auch dein Vorgänger-Löser deine Version bekommen, hat dann aber die Vektoren gekehrt, weil anstelle von 5 Minuszeichen dann nur noch eines erscheint und das ist «schöner»! Möglicherweise wollte er damit auch gerade darauf hinweisen, dass diese Formen nicht eindeutig sind und hat die eventuellen Verwirrungen bewusst in Kauf genommen. Das Kehren der Richtungsvektoren ist sicher immer sehr freiwillig, aber wenn etwa ein Richtungsvektor (6,12,12) heisst, dann sieht es geradezu dilettantisch (nicht falsch!) aus, wenn nicht gekürzt würde zu (1,2,2).
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