Fläche zwischen Parabel und Tangente berechnen |
| 10.01.2010, 11:07 | Theresa21 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Fläche zwischen Parabel und Tangente berechnen Die Gerade parallel zur Achse einer Parabel durch den Schnittpunkt der Tangenten in zwei Punkten dieser Parabel halbiert die Fläche zwischen der Parabel und den Tangenten. Leider komme ich nicht darauf wie ich dies beweisen oder präsentieren soll. Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir euere Ideen postet. Dankeschön 
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| 10.01.2010, 15:34 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Beweis kann sowohl "manuell", als auch mit einem CAS (Computer Aided System oder Computer Algebra System), welches in der Regel auch im Stande ist, algebraische Berechnungen durchzuführen, allgemein (nicht mit Zahlenwerten) erfolgen. Setze die Parabel als an (nach oben offene quadratische Parabel, Scheitel im Nullpunkt) und wähle auf ihr zwei Punkte B1(a; f(a)), B2(b; f(b)), in denen die Tangenten gelegt werden. Der Schnittpunkt der Tangenten sei C(c; y_c). Die weitere Rechnung ergibt dann relativ einfache Ergebnisse: c = (a + b)/2 und y_c = a.b.k und die Gleichheit der durch die Senkrechte bei x = c geteilten Flächenstücke. Ich habe dies (allgemein, nicht mit Zahlenwerten!) mit DERIVE gerechnet und auch verifiziert. mY+ |
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| 10.01.2010, 15:39 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Fläche zwischen Parabel und Tangente berechnen Computer im Matheunterricht (Dieser Titel verwirrt, es geht aber um dein Thema.) |
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| 10.01.2010, 19:10 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die in dem Thread angesprochen Scherung ist sicher ein interessanter Ansatz. Die Scherungsachse muss parallel zur y-Achse durch den Schnittpunkt der Tangenten gehen und den x - Abstand der Berührungspunkte halbieren. Der Scherungswinkel ergibt sich aus der Lage der Berührungspunkte. Konstruktiv so elegant machbar, dass man eigentlich nichts mehr rechnerisch beweisen muss. Eine Eigenschaft der Scherung muss allerdings noch bekannt sein: ---- Aus Wikipedia --- Ist in der Ebene ein euklidischer Abstand und ein mit diesem Abstand verträglicher Flächeninhalt definiert, dann bleiben bei einer Scherung mit Achse a - der Abstand zwischen zwei Punkten, die auf a oder Parallelen zu a liegen, - der Abstand zwischen zwei zu a parallelen Geraden - der (orientierte) Flächeninhalt jeder meßbaren Fläche erhalten. Der letzte Punkt ist entscheidend. Unter Umständen wäre dieser auch noch zu beweisen. Aber wie rechnerisch durchführbar? Die Aufgabenstellung spricht ja ausdrücklich von der Ausführung durch ein CAS. Die neue Parabel (Scheitel und Gleichung) und die neuen Berührungspunkte müssten dann berechnet werden. Den Aufwand dazu habe jetzt nicht überprüft. Ich rate also zunächst mal von einer Berechnung mittels Scherung ab, zumal die konventionelle Rechnung auch so überschaubar bleibt. Die manuelle Durchrechnung, also ohne CAS ist etwas anspruchsvoll, aber das muss ja hier nicht sein, denn gerade hier soll ja die Hilfe des CAS in Anspruch genommen werden. Auf Grund der einfachen Zwischenergebnisse kommt man auch relativ rasch zum Ziel. Die beiden Flächenstücke besitzen eine Fläche von je mY+ |
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| 10.01.2010, 20:02 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » |
@mYthos Ja, natürlich. Ich habe die Scherung dort erwähnt, weil zusätzlich nach einer anschaulich-plausiblen Begründung gefragt wurde. Als Beweis eignet es sich weniger (obwohl die 2x2-Matrix der Scherung ganz leicht zu finden ist und deshalb auch der Beweis der Flächentreue). |
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| 15.01.2010, 13:11 | TheresaT | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank für die Antworten. Sie haben mir sehr geholfen. Ich werde die Präsentation dieses Wochenende ausarbeiten und das Ergebnis online stellen. Ich denke ich werde versuchen es auf möglichst viele Wege zu beweisen (dh ich werde auch das mit der Scherung bearbeiten), um mir meinen Schein zu sichern
Also nochmals DANKE für die nette Hilfe. |
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