arccos(x)

10.01.2010, 11:27

Bullet1000

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arccos(x)

Hallo, ich sitze gerade an einer Übungsaufgabe, weiß aber nicht so recht, was ich da machen soll. Sie lautet folgendermaßen:

Stelle die Funktionswerte der Umkehrfunktion zu Kosinusfunktion in den Intervallen $\begin{eqnarray*} I_{n}:=[n\pi,(n+1)\pi] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} arccos(x) \end{eqnarray*}$ dar!

Ich weiß jezt irgendwie garnicht so richtig, was ich machen soll. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

Grüße

Bullet1000

10.01.2010, 12:10

Bullet1000

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Mir ist irgendwie völlig unklar, was ich machen soll?

Soll ich die Funktion zeichnen auf den Intervallen?

10.01.2010, 12:15

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Das steht doch deutlich da: Du sollst die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ von

$\begin{eqnarray*} f(x) = \cos(x), \qquad n\pi \leq x \leq (n+1)\pi \end{eqnarray*}$

darstellen, und zwar mit Hilfe der Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} g^{-1}(x) = \arccos(x) \end{eqnarray*}$ von

$\begin{eqnarray*} g(x) = \cos(x), \qquad 0 \leq x \leq \pi \end{eqnarray*}$ .

Zur Hilfe stehen dir dabei Periodizität sowie Symmetrie der Kosinusfunktion. Zeichne dir dazu am besten den Graph der Kosinusfuktion über mehrere Perioden auf und denke ein wenig nach.

10.01.2010, 15:30

Bullet1000

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Na ja,

also klar ist, dass die Kosinusfunktion symmetrisch zur y-Achse ist und periodisch ist. Also $\begin{eqnarray*} cos(x+2\pi)=cos(x) \end{eqnarray*}$

Die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} arccos(x) \end{eqnarray*}$ besitzen einen Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} D=[-1,1] \end{eqnarray*}$ und einen Wertebereich $\begin{eqnarray*} W=[0,\pi] \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich so recht überlege, müsste es auch möglich sein, diese Funktion noch zu erweitern. Und zwar könnte ich doch überall da, wo $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend ist auch die Umkehrfunktion zeichnen.

Also praktisch immer in den Intervallen $\begin{eqnarray*} [-3\pi,-2\pi] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [-\pi,0] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \end{eqnarray*}$ und immer so weiter

Bin mir aber nicht sicher

10.01.2010, 15:37

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Naja, das ist doch genau das, was in der Aufgabenstellung steht:

Zitat:

Original von Bullet1000
in den Intervallen[/I] $\begin{eqnarray*} I_{n}:=[n\pi,(n+1)\pi] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Versuch es doch erstmal für die einfachen Fälle $\begin{eqnarray*} n=0, n=1, n=2 \end{eqnarray*}$ bzw. auch $\begin{eqnarray*} n=-1 \end{eqnarray*}$ . Der Schritt zu beliebigen n sollte dann nicht mehr so schwer sein.

10.01.2010, 15:44

Bullet1000

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Na ja, es klappt nur für bestimmte Intervalle.

Wenn ich das richtig überblicke funktioniert es nur für alle ungeraden n

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10.01.2010, 15:47

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Nein, es klappt durchaus für alle Intervalle. Allerdings sollte man schon eine Fallunterscheidung "n gerade / n ungerade durchführen", schon allein deswegen, weil

$\begin{eqnarray*} x \to \cos(x), \quad x\in I_n \end{eqnarray*}$

für gerade n streng monoton fallend, und für ungerade n streng monoton wachsend ist.

10.01.2010, 15:50

Bullet1000

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Ach so... Dann verläuft die Umkehrfunktion in den Intervallen für ungerade n monoton fallend und für gerade n monoton steigend?

Kann es sien, dass sich dann im Gesamtbild wieder so eine Art "Schwingung" ergibt?

10.01.2010, 16:01

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Zitat:

Original von Bullet1000
Dann verläuft die Umkehrfunktion in den Intervallen für ungerade n monoton fallend und für gerade n monoton steigend?

Nein, anders herum.

10.01.2010, 16:02

Bullet1000

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Aaah verdammt, Denkfehler...

Aber im Prinzip besitzt das Bild, was dadurch entsteht wieder eine periodizität, oder?

10.01.2010, 16:07

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Nicht im herkömmlichen Sinne.

Die Funktionsbilder der einzelnen Umkehrfunktionen zusammgenommen ergeben allerdings den Graph der Kosinusfunktion gespiegelt an der Achse y=x.

Wir nähern uns zwar nicht einen Millimeter der Lösung, aber immerhin hast du jetzt so langsam die Aufgabenstellung kapiert - das ist ja auch was.

10.01.2010, 16:45

Bullet1000

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hehe, gut.

Also hat die Aufgabenstellung nichts damit zu tun, dass ich den Graphen zeichnen soll.
Wahrscheinlich muss ich für jeden Fall spzielle, von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängende Definitionsbereiche angeben. Der Wertebereich müsste ja immer der gleiche sein.

Ich versuch es mal:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} I_{0}=[0,\pi] \end{eqnarray*}$
Also ergibt sich für $\begin{eqnarray*} D({f_{0}}^{-1})=[-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}] \end{eqnarray*}$

2. Fall: $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} I_{1}=[\pi,2\pi] \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} D({f_{1}}^{-1})=[\frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2}] \end{eqnarray*}$

3. Fall: $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} I_{2}=[2\pi,3\pi] \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} D({f_{2}}^{-1})=[\frac{3\pi}{2} , \frac{5\pi}{2}] \end{eqnarray*}$

4. Fall $\begin{eqnarray*} n=-1 \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} I_{-1}=[-\pi,0] \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} D({f_{-1}}^{-1})=[\frac{-3\pi}{2} , \frac{-\pi}{2}] \end{eqnarray*}$

Daraus zeichnet sich für mich ab.

Ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade, dann lässt sich der Definitionsbereich berechnen aus:
$\begin{eqnarray*} [(-1+2k)\cdot \frac{\pi}{2} , (1+2k)\cdot \frac{\pi}{2}] \end{eqnarray*}$

Und ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade, dann berechnet sich der Definitionsbereich aus:
$\begin{eqnarray*} [(1+2l)\cdot \frac{\pi}{2} , (3+2l)\cdot \frac{\pi}{2}] \end{eqnarray*}$

10.01.2010, 16:58

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Ich hatte gedacht, wir wären weiter. Stattdessen entfernen wir uns wieder - dieser dein letzter Beitrag ist durch die Bank weg unsinnig...

Also mal ganz von vorn die Aufgabenstellung erklärt: Die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \cos(x), \qquad x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

ist nicht injektiv, und deshalb auch nicht umkehrbar. Aus diesem Grund teilt man den Definitonsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ dieser Kosinusfunktion auf in (bis auf die Intervallenden) disjunkte Intervalle $\begin{eqnarray*} I_n = [n\pi, (n+1)\pi] \end{eqnarray*}$ über alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ auf. Diese Funktionen

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = \cos(x), \qquad x\in I_n \end{eqnarray*}$

sind dann nämlich injektiv und damit umkehrbar. Als $\begin{eqnarray*} f_n:\; I_n \to [-1,1] \end{eqnarray*}$ geschrieben sind sie sogar bijektiv, was dann auch auf die zugehörigen Umkehrfunktionen $\begin{eqnarray*} f_n^{-1}:\; [-1,1] \to I_n \end{eqnarray*}$ zutrifft. Deine Aufgabe ist es nun, dieses $\begin{eqnarray*} f_n^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ direkt anzugeben, mit Hilfe der Funktion $\begin{eqnarray*} \arccos \end{eqnarray*}$ .

10.01.2010, 18:32

Bullet1000

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Also tielt man die Kosinusfunktion in Teilintervalle auf, weil sie in denen entweder streng monoton fallend bzw. streng monoton wachsend ist und stetig.

Somit existiert dort eine Umkehrfunktion auf diesem Intervall.

Meine Aufgabe ist es jetzt die Umkehrfunktion aufzuschreiben.

Für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ wäre die doch $\begin{eqnarray*} f^{-1}=arccos(x) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f^{-1}=arccos(-x+2) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f^{-1}=arccos(x-4) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} n=-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f^{-1}=arccos(-x-2) \end{eqnarray*}$

Ich denke, dass es ungefähr darauf hinausläuft.

Also ist für gerade n:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}=arccos(x-4k) \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} n=2k \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

und analog für ungerade n
$\begin{eqnarray*} f^{-1}=arccos(-x+2l) \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} n=2l-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} l \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

10.01.2010, 23:47

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Zitat:

Original von Bullet1000
Für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ wäre die doch $\begin{eqnarray*} f^{-1}=arccos(x) \end{eqnarray*}$

So ist es - schreib aber besser $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=arccos(x) \end{eqnarray*}$ .

Beim Rest hast du geraten, und das so furchtbar schlecht, dass sich nicht mal eine Fehleranalyse lohnt.

Ich geb mal $\begin{eqnarray*} f_{41}^{-1} \end{eqnarray*}$ vor, und du versuchst was draus zu lernen - Ok?

$\begin{eqnarray*} f_{41}^{-1}(x) = 42\pi - \arccos(x) \end{eqnarray*}$

11.01.2010, 16:13

Bullet1000

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Ach so...

Hammer

Natürlich... na ja... da zeigt sich, dass ich immernoch nicht so richtig eine Vorstellung von dem Ganzen habe.

Ich dachte die ganze Zeit, die Funktionen verschieben sich auf der x- Achse.
Aber sie wandern nach oben.

Also muss ich umdenken.

$\begin{eqnarray*} {f_{0}}^{-1}(x)=arccos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {f_{1}}^{-1}(x)=2\pi -arccos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {f_{2}}^{-1}(x)=2\pi +arccos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {f_{-1}}^{-1}(x)=-arccos(x) \end{eqnarray*}$

So, jetzt sollte das Prinzip aber richtig sein.

Hieraus ergibt sich jetzt für mich

für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=n\cdot \pi +arccos(x) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=(n+1)\cdot \pi -arccos(x) \end{eqnarray*}$

11.01.2010, 16:21

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Jetzt hast du's. Freude

Freude

Das ganze basiert auf zwei Eigenschaften der Kosinusfunktion:

1) Periodizität: $\begin{eqnarray*} \cos(x+2\pi k) = \cos(x) \end{eqnarray*}$

2) Geradheit (= Symmetrie bzgl. y-Achse): $\begin{eqnarray*} \cos(-x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$

11.01.2010, 16:28

Bullet1000

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Ja, jetzt ist alles klar geworden.

Wieder mal vielen dank für diene Geduld.

Ich hatte die ganze Zeit ein völlig falsches Bild dieser STammfunktion vor Augen.

Na ja, aus Fehlern lernt man...erst recht aus solchen.

Dankeschön nochmal

Grüße

BUllet1000

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