Definitionsmenge bei Wurzelgleichungen bestimmen?

10.01.2010, 13:15

Gast10

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Definitionsmenge bei Wurzelgleichungen bestimmen?

Hallo ,

wie kann ich die Definitionsmenge der folgenden Aufgabe bestimmen?

$\begin{eqnarray*} 5x-\sqrt{(6x-2)(4x-11)} =11 \end{eqnarray*}$

Also bei der Aufgabe
$\begin{eqnarray*} 5+\sqrt{5x-1} = x \end{eqnarray*}$ Ist die Definitionsmenge ja $\begin{eqnarray*} \left\{ x\in \mathbb R / x > 1/5\right\} \end{eqnarray*}$ oder?

Bitte um Hilfe :-/

10.01.2010, 13:25

Explo

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mach ein $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ draus und es sollte stimmen.

zu dem ersten teil: wann ist denn eine Wurzel nicht definiert?

Edit: @wisili sind ja auch in der gleichen minute gepostet :p

10.01.2010, 13:25

wisili

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RE: Definitionsmenge bei Wurzelgleichungen bestimmen?

Zitat:

Original von Gast10
$\begin{eqnarray*} \left\{ x\in \mathbb R / x > 1/5\right\} \end{eqnarray*}$

Gleichheit geht auch noch:
$\begin{eqnarray*} \left\{ x\in \mathbb R / x >= 1/5\right\} \end{eqnarray*}$

Bei der oberen Aufgabe könnte man den Radikanden (6x-2)(4x-11)
als Funktion studieren: f(x) = (6x-2)(4x-11) hat eine Parabel als Graph.
Wann sind ihre Werte nicht negativ?

@Explo: Habe deinen Beitrag nicht bemerkt.

10.01.2010, 13:30

Matheliebhaberin

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Hallo, ich bin die die gerade hier die Frage gepostet hat, naja. eine Wurzel darf halt nicht negativ sein, aber so genau weiß ich das leider auch nicht. Bitte um eine Erkläung, dann kann ich das natürlich auch selber ausrechnen.

10.01.2010, 13:34

Explo

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

ist definiert für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+3} \end{eqnarray*}$

ist definiert für $\begin{eqnarray*} x+3 \geq 0 \end{eqnarray*}$
ist also definiert für $\begin{eqnarray*} x \geq -3 \end{eqnarray*}$

Sprich den Term unter der Wurzel $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ setzen.
Dann erhällt man alle definierten x

10.01.2010, 13:36

Matheliebhaberin

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Soweit hätte ich das ja auch verstanden, aber muss ich die Klammern erst unter der Wurzel ausrechnen?

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10.01.2010, 13:41

Explo

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Sozusagen ja...

noch ein anderes beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt {(x+1) \cdot (x+2)} \end{eqnarray*}$

ist definiert für $\begin{eqnarray*} (x+1) \cdot (x+2) \geq 0 \end{eqnarray*}$

Nun gibt es 2 Fälle.

Entweder $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x+2) \end{eqnarray*}$ sind jeweils $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x+2) \end{eqnarray*}$ sind jeweils $\begin{eqnarray*} \leq 0 \end{eqnarray*}$

Was wäre dann bei dem Beispiel der DB ?

10.01.2010, 13:49

Matheliebhaberin

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Okay, ich bin ehrlich: ich verstehe es nicht :/
Warum auf einmal 2 Fälle?

Das verwirrt mich alles irgendwie - entschuldige.

10.01.2010, 13:54

Explo

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Ist doch kein Problem Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der term unter der Wurzel muss ja größer gleich 0 sein.

Da unter der Wurzel ein Produkt steht gibt es 2 Fälle wie der Term größer gleich 0 wird.

Entweder: + mal + = +
oder: - mal - = +

Das heisst, wenn beide Faktoren negativ sind ist das Produkt trotzdem positiv.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 1 = 1 = (-1) \cdot (-1) \end{eqnarray*}$

10.01.2010, 13:57

Matheliebhaberin

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Ja, okay, soweit habe ich das nun auch verstanden und weiter?

Irgendwie deprimierend, normal habe ich keine so großen Probleme mit Mathe:/

10.01.2010, 13:59

Explo

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So gehts mir mitm Studium aber auch :-p

also..

wir wissen, dass entweder beide Faktoren positiv oder beide negativ sein müssen.
Das gibt dann 2 Fälle.

Entweder $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x+2) \end{eqnarray*}$ sind jeweils $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ (also positiv)

oder

$\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x+2) \end{eqnarray*}$ sind jeweils $\begin{eqnarray*} \leq 0 \end{eqnarray*}$ (also negativ)

10.01.2010, 14:02

Matheliebhaberin

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Okay, aber wie geht das mit dem 2.Fall, wenn es doch größer als Null sein soll ?

10.01.2010, 14:04

Explo

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setz mal für beide x = -5 ein...

Was kommt dann raus?

10.01.2010, 14:06

Matheliebhaberin

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Ja ein positives Ergebnis natürlich :/

10.01.2010, 14:08

Explo

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genau ^^

das heisst, wenn beide faktoren unter 0 sind ist das Ergebnis ja dann über null oder?

10.01.2010, 14:10

Matheliebhaberin

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Ja und weiter?

Ach übrigens möche ich dir jetzt schon einmal danken, dass du dir die Mühe machst. (:

10.01.2010, 14:11

Explo

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Wie gesagt kein Problem (:

So also wissen wir ja jetzt, dass der Term größer gleich 0 ist, wenn beide Faktoren es sind ..

oder wenn beide Faktoren kleiner gleich 0 sind.

Das heisst wir wissen, dass es 2 Fälle gibt... oder?

10.01.2010, 14:13

Matheliebhaberin

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Ja und weiter ? Big Laugh

Big Laugh

10.01.2010, 14:19

Explo

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Zitat:

Original von Explo
Sozusagen ja...

noch ein anderes beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt {(x+1) \cdot (x+2)} \end{eqnarray*}$

ist definiert für $\begin{eqnarray*} (x+1) \cdot (x+2) \geq 0 \end{eqnarray*}$

Nun gibt es 2 Fälle.

Entweder $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x+2) \end{eqnarray*}$ sind jeweils $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x+2) \end{eqnarray*}$ sind jeweils $\begin{eqnarray*} \leq 0 \end{eqnarray*}$

Was wäre dann bei dem Beispiel der DB ?

10.01.2010, 14:22

Matheliebhaberin

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$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R / (x+1)(x+2)\geq 0 \end{eqnarray*}$ ????

10.01.2010, 14:24

Explo

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Genau

Augenzwinkern

Und nun gebe mal für x konkrete Werte an.

(Tipp: da sollte dann was stehen von wegen: x <= -10 und x >= 10

10.01.2010, 14:26

Matheliebhaberin

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Ahja, also soll ich jetzt die Klammern auflösen oder wie? Weil sonst habe ich keine Ahnung.

10.01.2010, 14:33

Explo

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wie gesagt 2 fälle..

Entweder beide Faktoren sind größer gleich 0

dann (x+1) >= 0
und (x+2) >= 0

~> x >= -1

oder beide Faktoren sind kleiner gleich 0

dann (x+1) <=0
und (x+2) <= 0

~> x <= -2

Gibt nen DB von

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \leq -2 \end{eqnarray*}$

10.01.2010, 14:54

Matheliebhaberin

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Hä???

10.01.2010, 14:54

Explo

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Bitte schreibe doch, was genau du daran nicht verstehst?

10.01.2010, 14:55

Matheliebhaberin

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$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R / -1\leq x\leq -2 \end{eqnarray*}$ ???

10.01.2010, 15:01

Explo

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nein.

(ich editier gleich den Rest)

Edit: Ich gehe mal davon aus, dass das " / " bedeutet, dass da hinter weitere Bedingungen stehen?

Oder
x \ x =3
heisst x ohne x = 3 ?

10.01.2010, 15:05

Explo

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Wie gesagt wir haben 2 Fälle.
Einmal, dass beide Faktoren >= 0 sind.

Wenn beide Faktoren >= 0 sind, dann liegen sie ja im Definitionsbereich, da die Wurzel dann definiert ist.

Wir betrachten nun:
(x+1) >= 0
und (x+2) >= 0

das und muss da sein, da ja beide Klammern größer 0 sind.

x+1 >= 0
~> x >= -1
x+2 >= 0
~> x >= -2

nun haben wir zwei zahlen. Daraus nehmen wir die größere (, da x >= sein muss), weil wenn wir -2 nehmen würden würde die erste klammer nicht in jedem fall >= 0 sein

Sprich wir haben schonmal, dass der Definitions Beriech:

$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R / x\geq -1 \end{eqnarray*}$ ist.

Nun betrachten wir noch den 2. Fall:

(x+1) <=0
und (x+2) <= 0

Wieder muss das und sein, da beide klammern <= 0 sein müssen.

x+1 <= 0
~> x <= -1
x+2 <= 0
~< x <= -2

Nun haben wir wieder 2 Zahlen. Dieses mal nehmen wir die kleinere ( da x <= sein muss) weil wenn wir -1 nehmen würden dann würde, dann wäre die 2. Klammer nicht in jedem Fall <= 0.

Das bringt uns jetzt auf $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R / x\leq -2 \end{eqnarray*}$ .

Führen wir beides zusammen bringt us das auf den Definitionsbereich:

$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R / x \leq -2 , x \geq -1 \end{eqnarray*}$

10.01.2010, 15:10

Matheliebhaberin

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Danke für diese super Zusammenfassung (:

Aber ist meins nicht eig. das gleiche, nur dass ich das x nur einmal erwähnt habe?

10.01.2010, 15:13

Explo

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Wie noch editiert was heisstn für dich / bei dir das "/"

x / x=3

heisst alle x mit x=3

oder heisst das alle x ohne x = 3?

Wenn es heisst ohne, dann ist deins sogar richtig gewesen bis auf das gleich..

dann wäre es halt x e R / -2 < x < -1

10.01.2010, 15:17

Matheliebhaberin

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Das " / " heißt doch ohne, oder täusche ich mich da jetzt?

Ja, also das mit dem gleich verstehe ich ja (:

10.01.2010, 15:19

Explo

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Nein tust du nicht ich dachte nur du meinst das, dass das soviel heisst wie und xDD

Dann entschuldige mein Fehler, dann ist das:

$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R / -1\leq x\leq -2 \end{eqnarray*}$

natürlich richtig, wenn du es auf

$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R / -1 < x < -2 \end{eqnarray*}$

änderst Augenzwinkern

Augenzwinkern

sooo und nu sage mir doch mal einen DB für:

$\begin{eqnarray*} 5x-\sqrt{(6x-2)(4x-11)} =11 \end{eqnarray*}$

10.01.2010, 15:32

Matheliebhaberin

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okay : $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R /-4/11\leq x\leq 4/11 \end{eqnarray*}$ ?????

Ich habe so gar keine Ahnung. xD

10.01.2010, 15:36

Explo

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nein

unglücklich

Schreib doch mal am besten deinen Weg auf ...

10.01.2010, 15:38

Matheliebhaberin

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Ach man:///, okay also :

-1/3 1/3 - 4/11 4/11

Und davon brauche ich ja 2 Zahlen, oder sind die da oben genannten auch falsch?

10.01.2010, 15:40

Explo

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Oehm ... so ziemlich ^^ ... 1/3 taucht unter anderem am Ende auch auf Augenzwinkern

Augenzwinkern

Fang doch einfach mal wieder ganz vorne an. Mache 2 Fälle draus ... mache für beide Fälle jeweils einen Def-Bereich und führe diese dann zusammen.

10.01.2010, 15:56

Matheliebhaberin

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1.Fall:

Beide Faktoren >= 0 sind.

Wenn beide Faktoren >= 0 sind, dann liegen sie ja im Definitionsbereich, da die Wurzel dann definiert ist.

Also:
(6x-2) >= 0
und (4x-11) >= 0

Also:
6x-2 >= 0
~> x >= 1/3
4x-11 >= 0
~> x >= 11/4

Der Definitions Beriech:

$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R / x\geq 11/4 \end{eqnarray*}$

ist das denn eig. richtig?

10.01.2010, 15:57

Explo

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wie kommst du auf -1/3 und -11/4 ?

also wie auf das minus?

10.01.2010, 16:00

Matheliebhaberin

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Oh mist, Vorzeichenfehler , habe es verbessert, müsste jetzt stimmen,oder?

10.01.2010, 16:02

Explo

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jetzt ist es bis dahin (also der erste Teil) richtig.

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