Zylinder wird in Ellipse beschrieben

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10.01.2010, 14:34	kiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Zylinder wird in Ellipse beschrieben Hilfe!!Ich hab morgen Abschlussprüfung und weiß nicht ob ich folgende Aufgabe richtig bearbeitet habe! Eine Schneekugel hat die Form eines halben Rotationsellipsoids, genauer gesagt rotiert die obere Hälfte der Ellipse 4x² + y² = 64 um die y-Achse. (Maße in cm) Schreibe der Schneekugel einen Zylinder mit maximalem Volumen ein. V=? Mache eine Skizze. So,ich habe die Ellipsengleichung aufgestellt: x²/16 + y²/64 = 1 daraus folgt a= 4 und b= 8 Außerdem habe ich den Formparameter p berechnet, er soll den Radius des Zylinder darstellen (wenn ich richtig liege), und zwar p = a^2/b = 2. Dann habe ich den Abstand der Brennpunkte berechnet, der als Höhe des Zylinders dienen soll. Auch hier die Frage, liege ich richtig? Ich habe die Formel: e^2 = b^2 - a^2 benutzt und bin dann auf e=wurzel(48) gekommen. Somit wäre das maximale Volumen 87,06 [VE]?!? Ich bitte um eine baldige Antwort...
10.01.2010, 15:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier handelt es sich um eine Extremwertaufgabe. Ich kann aber nicht erkennen, wo du darauf eingehst. Und wie kommst du auf p? Und warum sollte die Brennweite e die Höhe des Zylinders von maximalem Volumen sein? Eine ganz ähnliche Aufgabe wird gerade hier besprochen, nur ist es dort eine Pyramide und kein Halbellipsoid, in welche der Zylinder einbeschrieben wird. Du kannst aber ganz analog vorgehen, wie mYthos es beschrieben hat. Wenn $\begin{eqnarray} r,h \end{eqnarray}$ Radius und Höhe des Zylinders sind, so beachte, daß der Punkt $\begin{eqnarray} (x,y)=(r,h) \end{eqnarray}$ auf der Ellipse liegt. Was folgt daraus für $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ?
10.01.2010, 16:10	kiss	Auf diesen Beitrag antworten »
es folgt, dass r und h die x und y koordinaten eines Punktes auf der Ellipse sind...leider hilft MIR das nicht viel, weil ich echt eine Mathenull bin...
10.01.2010, 16:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du den Link schon durchgearbeitet? Da steht alles. Und das mit der Nebenbedingung ist bei dir noch einfacher, du bekommst sie aus der Tatsache, daß $\begin{eqnarray} (r,h) \end{eqnarray}$ ein Ellipsenpunkt ist. Was gilt nämlich für alle Punkte $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ der gegebenen Ellipse (ebendrum sind es ja Ellipsenpunkte)? Es ist hier übrigens zweckmäßig, die Nebenbedingung nach $\begin{eqnarray} r^2 \end{eqnarray}$ aufzulösen. Im übrigen: Hast du dir schon eine Skizze gemacht?
10.01.2010, 16:28	kiss	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, eine skizze hab ich gemacht. also ich kann mir schon was unter der aufgabe vorstellen. ich weiß wie das ungefähr aussehen soll... für jeden Punkt auf der Ellipse gilt, dass die Summe der Abstände zu den Brennpunkten immer gleich (in meinem Fall) 2b ist ich hab die beiträge durchgesehen, aber ich komm nich auf die nebenbedingung. wär sie das Volumen des ellipsiods ?
10.01.2010, 16:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll denn maximal werden? Das führt auf die Hauptbedingung. Und Nebenbedingungen sind Koppelungen zwischen den Variablen, hier $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ . Frage: Liegt der Punkt $\begin{eqnarray} (2,-1) \end{eqnarray}$ auf der Parabel $\begin{eqnarray} y = x^2 -5 \end{eqnarray}$ ? Wie entscheidest du so etwas? Und wie entscheidest du dann, ob ein Punkt $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ auf der Ellipse liegt? Aber $\begin{eqnarray} (r,h) \end{eqnarray}$ liegt ja auf der Ellipse! Also ...
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10.01.2010, 17:09	kiss	Auf diesen Beitrag antworten »
maximal soll ja das kegelvolumen sein also V= 3,14r^2h ich würde 2 für x einsetzen und wenn -1 die lösung ist, dann liegt der punkt drauf. was meinst du mit koppelung???meinst du also das ich r und h einsetzen soll in die ellipsen gleichung?bitte hilf mir auf die sprünge
10.01.2010, 17:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Punkt $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ liegt dann und nur dann auf einer Kurve, wenn seine Koordinaten die Gleichung der Kurve erfüllen. Und weil $\begin{eqnarray} (r,h) \end{eqnarray}$ auf der Kurve liegt, müssen $\begin{eqnarray} r,h \end{eqnarray}$ die Gleichung der Kurve erfüllen. Ja! Mit Koppelung meine ich, daß $\begin{eqnarray} r,h \end{eqnarray}$ nicht unabhängig voneinander sind. Wenn du nur einen Zylinder betrachtest, ohne weitere Vorgaben, dann darfst du in der Gleichung $\begin{eqnarray} V = \pi r^2 h \ \ \ \text{(} \pi \text{, nicht} \ 3{,}14 \text{ !)} \end{eqnarray}$ die Größen $\begin{eqnarray} r,h>0 \end{eqnarray}$ unabhängig voneinander wählen, z.B. $\begin{eqnarray} r = 5555 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h = 2010 \end{eqnarray}$ . Dein Zylinder ist aber eingeschränkt. Geometrisch siehst du das daran, daß er an der Kuppel des Ellipsoids anstößt, und rechnerisch daran, daß die Größen $\begin{eqnarray} r,h \end{eqnarray}$ durch eine Nebenbedingung aneinander gekoppelt sind. Und diese Nebenbedingung sollst du finden. Wie es geht, steht im ersten Absatz dieses Beitrags.
10.01.2010, 18:05	kiss	Auf diesen Beitrag antworten »
ok vielen dank ich werds versuchen und halte dich aud dem laufenden ich hab 3,14 geschrieben weil ich nich wusste wie man hier pi eingibt ^^
10.01.2010, 18:17	kiss	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab die ellipsengleichung nach r^2 aufgelöst und dann in das Volumen vom Zylinder eingesetzt. habe dann für h = 8 bekommen das kann nich stimmen....

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