Beweis des binomischen satzes durch vollständige induktion

10.01.2010, 14:38

kathi^^

Beweis des binomischen satzes durch vollständige induktion

hallo, ich bräuchte bitte eure Hilfe!
Ich versuche den binomischen Satz durch vollständige Induktion zu beweisen, bleibe aber immer an einer, oder auch zwei stellen hängen...
Wenn ihr mir bitte erklären könntet, wie die folgende zeile umgeformt wird:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \times a^{k+1} \times b^{n-k} = \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} \times a^{k} \times b^{n+k-1} \end{eqnarray*}$
Es findet eine Indexverschiebung statt, aber ich komme leider nicht dahinter wie genau...
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \times a^{k} \times b^{n-k+1} + b^{n+1} = \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \times a^{k} \times b^{n-k+1} +\begin{pmatrix} n+1 \\ 0 \end{pmatrix} \times a^{0} \times b^{n+1-0} = \sum\limits_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \times a^{k} \times b^{n-k+1} \end{eqnarray*}$
kann des sein, dass ich hier des einfach ergänzen darf, weils nix verändert?! $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1<br /> a^{0} = 1 \end{eqnarray*}$

Wär super wenn mir des jemand erklären könnte!
Danke scho mal!
lg kathi

10.01.2010, 20:39

greg121

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m}^n a_{k} = \sum\limits_{k=m+1}^{n+1} a_{k-1} \end{eqnarray*}$

so funktioniert eine Indexverschiebung.

11.01.2010, 09:13

klarsoweit

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RE: Beweis des binomischen satzes durch vollständige induktion

Zitat:

Original von kathi^^
Wenn ihr mir bitte erklären könntet, wie die folgende zeile umgeformt wird:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \times a^{k+1} \times b^{n-k} = \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} \times a^{k} \times b^{n+k-1} \end{eqnarray*}$
Es findet eine Indexverschiebung statt, aber ich komme leider nicht dahinter wie genau...

Erstmal ist obiges falsch. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \binom n k \cdot a^{k+1} \cdot b^{n-k} = \sum\limits_{k=1}^{n+1} \binom{n}{k-1} \cdot a^k \cdot b^{n-k+1} \end{eqnarray*}$

Bei der Indexverschiebung wurde hier rein formal k = m-1 substituiert. Für die untere Grenze m_u gilt dann: $\begin{eqnarray*} m_u = k_u + 1 = 0+1 = 1 \end{eqnarray*}$

Analog gilt für die obere Grenze: $\begin{eqnarray*} m_o = k_o + 1 = n+1 \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \binom n k \cdot a^{k+1} \cdot b^{n-k} = \sum\limits_{m=1}^{n+1} \binom{n}{m-1} \cdot a^m \cdot b^{n-m+1} \end{eqnarray*}$

Da es aber egal ist, wie die Laufvariable der Summe heißt, macht man aus dem m einfach wieder k.

Zitat:

Original von kathi^^
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \times a^{k} \times b^{n-k+1} + b^{n+1} = \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \times a^{k} \times b^{n-k+1} +\begin{pmatrix} n+1 \\ 0 \end{pmatrix} \times a^{0} \times b^{n+1-0} = \sum\limits_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \times a^{k} \times b^{n-k+1} \end{eqnarray*}$
kann des sein, dass ich hier des einfach ergänzen darf, weils nix verändert?! $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1<br /> a^{0} = 1 \end{eqnarray*}$

Wenn man sich mal in $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} \cdot a^k \cdot b^{n-k+1} \end{eqnarray*}$ den Summanden für k=0 anschaut, dann bekommt man $\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{0} \cdot a^0 \cdot b^{n-0+1} \end{eqnarray*}$ , was eben gleich $\begin{eqnarray*} b^{n+1} \end{eqnarray*}$ ist. Also macht man nicht lange rum, und schreibt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} \cdot a^k \cdot b^{n-k+1} + b^{n+1} = \sum\limits_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} \cdot a^k \cdot b^{n-k+1} \end{eqnarray*}$

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