Erwartungswert

10.01.2010, 16:03

Miss Verstanden

Erwartungswert

HAllo,

Sei R mit N(4,2)versehen. Bestimme E(X), der durch 2x2-x+5 definierten ZV X: R nach R

Als Tipp habe ich bekommen, dass ich X nach Potenzen von x-4 entwickeln soll und eine VAriablentransformation durchführen soll.

Die Aufgabe soll wohl sehr leicht sein, leider nicht für mich unglücklich

Es wäre schön, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wie ich überhaupt ansetzen sollte. Vielen Dank.

10.01.2010, 16:45

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Zitat:

Original von Miss Verstanden
Bestimme E(X), der durch 2x2-x+5 definierten ZV X: R nach R

Stand das wirklich genauso da? Ich kann mir zwar denken, was gemeint ist, finde diese Darstellung aber als ziemlich schludrig und wenig verständnisfördernd. Ausgeschrieben soll das wohl

$\begin{eqnarray*} X(x) = 2x^2-x+5 \end{eqnarray*}$

bedeuten? Wohl dem, der Klein-x und Groß-X hier nicht verwechselt, das wäre tödlich. Augenzwinkern

Ich fände folgende Darstellung klarer:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ eine gemäß $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(4,2) \end{eqnarray*}$ verteilte Zufallsgröße, und $\begin{eqnarray*} X = 2Y^2-Y+5 \end{eqnarray*}$ eine daraus gebildete Zufallsgröße. Man bestimme $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ .

Ach nochwas: Bedeutet bei euch in N(4,2) der zweite Argumentwert 2 die Standardabweichung oder (wie eigentlich üblich) die Varianz der zugrunde liegenden Normalverteilung? Solltest du klären, sonst lauert dort auch ein möglicher Fehler.

10.01.2010, 17:11

Miss Versatnden

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Hallo,

vielen Dank erstmal für deine Antwort. Ich habe es wohl unklar dargestellt. Entschuldige. (Wie kann ich denn hier die richtigen mathematischen Zeichen einfügen?)

Es war 1:1 so(außer mein "Pfeil" war die Abb.vorschrift)

R sei mit der N(4, 2)-Verteilung versehen. Bestimmen Sie den Erwartungswert der durch
x (Pfeil) 2x2 − x + 5 definierten Zufallsvariablen X : R (Pfeil) R.

Ehrlich gesagt, ich muss ja niemanden etwas vormachen, bin ich mir nicht sicher, was es bedeutet. Wir sollten schon fleißig Varianzen, Streuungen und Erwartungswerte bestimmen,(das war auch OK), aber leider bin ich mir nicht im KLaren darüber, was diese Schreibweise aussagen möchte. (Ja, ich weiß, mein Wissen ist wirklich etwas wage, aber das möchte ich ja jetzt ernsthaft ändern.)

Hast du(oder jemand anders) vielleicht noch einen Tipp, wo ich dieses Thema gut nachlesen kann im Netz? Mein Skript scheint nur erklärend für die, die es bereits verstehen.

Es hieß: Ach, bei der Aufgabe müsst ihr ja nur rechnen. DAs würde ich ja gerne, wenn ich nur wüsste wie...

Danke erstmal soweit

10.01.2010, 17:29

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Zitat:

Original von Miss Versatnden
(außer mein "Pfeil" war die Abb.vorschrift)

Tja, und dieses $\begin{eqnarray*} x\mapsto \end{eqnarray*}$ ist aber entscheidend, sonst wird das ganze mathematisch unsinnig!!! Forum Kloppe

Na egal, ich rechne mit meiner Variante oben:

$\begin{eqnarray*} E(X) = E(2Y^2-Y+5) = 2E(Y^2)-E(Y)+5 \end{eqnarray*}$

Zusammen mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(Y) = E(Y^2)-(E(Y))^2 \end{eqnarray*}$ , also umgestellt $\begin{eqnarray*} E(Y^2) = \operatorname{var}(Y) + (E(Y))^2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich

$\begin{eqnarray*} E(X) = 2\operatorname{var}(Y) + 2(E(Y))^2-E(Y)+5 = 2\operatorname{var}(Y) + 33 \end{eqnarray*}$ ,

wenn man die gegebenen $\begin{eqnarray*} E(Y)=4 \end{eqnarray*}$ einsetzt.

Leider hast du meine Frage hinsichtlich eurer Normalverteilungsnotation nicht beantwortet, deswegen weiß ich nicht, ob nun $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(Y) = 2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(Y) = 2^2 \end{eqnarray*}$ einzusetzen ist. unglücklich

10.01.2010, 18:45

Posty

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Das ganze solllte natürlich so aussehen:

also ich hänge an der gleichen Aufgabe hier das ganze mal vernünftig aufgeschrieben:

Wir haben also die Dichte $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt[]{2\pi }\sqrt[]{2} } e^{\frac{-(x-4)^2}{4} } \end{eqnarray*}$

Weiter haben wir die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X(x)= 2x^2-x+5 \end{eqnarray*}$ die dann mit der empfohlenen Potenzschreibweise so aussieht

$\begin{eqnarray*} X(x)= 2(x-4)^2+15(x-4)+33 \end{eqnarray*}$

im Endeffekt müssen wir also folgendes Integral ausrechnen

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{1}{\sqrt[]{2\pi }\sqrt[]{2} } e^{\frac{-(x-4)^2}{4} } \cdot \left( 2(x-4)^2 + 15(x-4) + 33 \right) \, dx \end{eqnarray*}$

Weiterer Tip war, dass wir ja den Erwartungswert von f (nämlich 4) schon kennen. Leider komme ich damit auch nicht klar. Ich hab auch schon versucht z=(x-4) oder ähnliches zu setzen, um dann eine vernünftige partielle Integration starten zu können, aber ich hänge entweder an der Integration der Normalverteilung (die ja bekanntlich nicht geht) oder eben an dem Polynom.

ich sitze also genauso schlau da, wie mein Vorredner!!!

ich bitte ebenfalls um Hilfe. Hoffe, die Aufgabe ist jetzt klarer

10.01.2010, 18:50

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Na dann ist ja endlich geklärt, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(Y) = 2 \end{eqnarray*}$ gemeint ist. Ansonsten könnt ihr euch gern weiter mit den Integralen rumschlagen, oder aber meinen Vorschlag überdenken.

10.01.2010, 19:17

Posty

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ok dann also zu deinem Vorschlag:

Wie kommst du auf die Defintion von X und Y?? Und was hat es denn dann mit dem Tip der Potenzdarstellung und der Variablentransformation. brauch ich dann gar kein Integral mehr???????

10.01.2010, 19:23

Posty

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Ich komme dann im Endeffekt auf E(X)=37
Das sieht ja sehr schön aus. mir fehlt nur leider die Idee, dass ich X und Y so schreibe, wie du das tust. Mit welcher Begründung tust du das und warum ist das das Gleiche?? Tut mir leid, wenn ich auf dem Schlauch stehe!!

10.01.2010, 19:26

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Die entsprechenden Integrale stecken implizit drin:

Für $\begin{eqnarray*} Y\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ entsprechen diese Integrale den bekannten Charakteristiken $\begin{eqnarray*} E(Y)=\mu \end{eqnarray*}$ sowie (indirekt) $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(Y)=\sigma^2 \end{eqnarray*}$ .

Und was ihr als "N(4,2)-Verteilung auf R" bezeichnet, ist bei mir einfach die Verteilung $\begin{eqnarray*} P_Y \end{eqnarray*}$ der Zufallsgröße.

10.01.2010, 20:00

Miss Verstanden

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Hallo,

erstmal danke für die vielen und hilfreichen Antworten, ich habe auch nochmal mein Skript studiert und es war tatsächlich die Varianz. Hammer

Ich werde nun nochmal ein wenig weiterbasteln und auf die eindeutige Erleuchtung hoffen.

Wenn ich meine endgültige Lösung(oder spätestens die Musterlösung aus dem Tutorium )habe, stelle ich es natürlich hier rein.

Nun erstmal vielen Dank für die tollen Anregungen und bis sicher bald Wink

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