Beschränktes Wachstum |
| 10.01.2010, 16:16 | Webbl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Beschränktes Wachstum habe eine Frage zu einem Sachverhalt, bei dem es um beschränktes Wachstum geht. Wird wohl für die meisten hier recht simpel erscheinen (Schulbuchaufgabe), aber im Moment hakt bei mir einfach irgendwas. Ich hoffe, dass man mir hier weiterhelfen kann. Die Aufgabe stellt sich in groben Zügen, wie folgt dar : Einem Patienten wird über einen Zeitraum von 1,75 Stunden ein Narkosemittel verabreicht. Die injezierte Dosis nimmt bis zum Erreichen einer unbekannten Schranke ab. Bei einer Konzentration von 3,2% des Mittels im Blut wird im nächsten Schritt eine so hohe Dosis injeziert, dass die Gesamtkonzetration des Mittels im Blut danach 3,5% beträgt. Nun möchte ich gerne das Maximum der Konzentration, also die Schranke S erhalten. Leider habe ich keinen Faktor k, so dass ich dann in der Gleichung B(t+1) = B(t) + k*(S-B(t)) zwei unbestimmte Variablen, nämlich S und k habe. Irgendwie muss ich das ganze nach k auflösen, bevor ich S erhalte. Leider sitze ich im Moment auf dem Trockenen. Das Thema ist schon etwas her. ^^ Ich hoffe, mir kann jemand helfen, ich würde mich sehr freuen. Vielen Dank und MfG |
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| 10.01.2010, 23:31 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist die Angabe vollständig und im Originaltext? Mir erscheint das Ganze etwas diffus. Die angegeben Gleichung ist eine Rekursionsbeziehung. Daraus resultiert erst eine (beschränkte) Wachstumsfunktion. Wie lautet diese? mY+ |
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| 11.01.2010, 21:05 | Webbl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Heyo mYthos,
ich meinte doch, die wichtigsten Infos angegeben zu haben. Aber ich will auch nichts potentiell wichtiges vorenthalten wissen, von daher hier mal die Kurform der gesamten Stelle : Der Text beschreibt den Verlauf einer Operation, bei dem ein Opiat und ein Hypnotikum verabreicht werden. Das Opiat wirkt schmerzstillend, das Hypnotikum einschläfernd. Dann folgen die Graphen für die Injektionen über einen Zeitraum von 1,75 Stunden. Ab hier der Originaltext : <---Anfang---> Zur Einleitung der Narkose wir eine Initialdosis gegeben. Nachdem eine gewisse Dosierung der Konzentration erreicht ist, wir die Dosierung der Medikamente reduziert. Die Wirkung des Medikamentes richtet sich nach der sich im Blut befindlichen Konzentration. Gegen 10.00 Uhr wurden die beiden Narkosen abgesetzt. Nach der Absetzung der Medikamente werden diese vom Körper abgebaut. Hierbei beträgt die Halbwertszeit für das Hypnotikum etwa 77 Minuten und die des Opiates etwa 8 Minuten. <---Ende---> Nun gibt es verschiedene Aufgabenstellungen. Z.B. soll ich errechnen, in welchem Zeitraum der Patient beatmet werden musste oder wann der Operateur die Haut des Patienten aufschneiden durfte. Nun weiß ich, wie lange es dauert, das Hypnotikum bzw. Opiat abzubauen. Bevor ich aber weiß, wie lange der Körper braucht um die vollständig im Blut enthaltene Menge abzubauen muss ich die Gesamtmenge an Opiat und Hypnotikum im Blut zu dem Zeitpunkt wissen, wo die Medikamente abgesetzt werden. Damit ich diesen errechnen kann, nämlich in meinen Augen die Schranke der beschränkten Wachstumsfunktionen (Verabreichung des Opitat und Hypnotikums), muss ich allerdings für meine Wachstumsformel k errechnen, da ich nicht mit zwei unbestimmten Variablen rechnen kann. Ich hoffe, ich konnt eine relativ vollständige Übersicht über die Problematik geben. Vielen Dank bis hier her für die Hilfe. MfG |
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| 11.01.2010, 22:14 | Eierkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mythos hat Dir bereits einen wichtigen Hinweis gegeben, den Du aufgreifen solltest(könntest). Andererseits fehlen mir die beiden Graphen zur Beurteilung resp. Findung von Lösungsansätzen, da Deine Darstellung des "Sachverhaltes" mehr als diffus ist, wie schon oben gesagt. Was soll denn eine "Dosierung der Konzentration" bedeuten? Das macht keinen Sinn. Das Medikament wird nicht erst nach Absetzen der Injektionen abgebaut, sondern schon mit Beginn der Injektionen. Auch fehlt uns eine Angabe, ab welcher Konzentration der jeweiligen Wirkstoffe eine Beatmung bzw. der Beginn des Eingriffs notwendig bzw. möglich ist. Immerhin entnehme ich dem ersten Post, dass die Konzentration nicht unter 3,2% fallen sollte, aber wovon, etwa beider Wirkstoffe? Sicher weißt Du auch nicht, wie lange es dauert, bis die Wirkstoffe im Körper abgebaut sind, da mathematisch gesehen der Wirkstoff niemals aus dem Körper verschwindet. Aber das ist nicht relevant, da das zu konstruierende mathematische Modell zur anstehenden Problematik sicher nur über einen bestimmten Zeitraum sinnvoll zu betrachten ist. Auch ist letztlich der Abbau der Wirkstoffe nicht kontinuierlich im Sinne des Continuums. Irgendwie scheint mir die Aufgabenstellung nicht genügend an die tatsächlichen medizinischen Zusammenhänge angepasst, aber dazu müsste man den Auifgabensteller befragen. Die Mathematik kann jedenfalls nur dann weiter helfen, wenn der Anwender genau weiß, was er will und wenn er alle relevanten Daten einbezieht. Gruß Ei |
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| 17.01.2010, 14:29 | Webbl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, sry für die späte Antowrt, habe das hier nicht vergessen, bin nur nicht zum Antowrten gekommen. Im Moment würde mir es schon helfen, generell zu wissen, wie ich S UND k berechnen kann, wenn ich den Bestand zu zwei Zeitpunkten kenne. Ich kenne also weder die Schranke, noch den Faktor k, sondern nur diese zwei Bestandswerte. Dann meine rekursive Darstellung : B(t+1) = B(0) + k*(S-B(0)) B(t+1) und B(0) sind gegeben, S + k möchte ich ermitteln. Danke für die bisherige Hilfe. MfG |
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| 17.01.2010, 16:17 | Webbl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sry für den Doppelpost. Habe den genannten Teil der Seite aber mal gescannt und hier angehängt. Ist am Rand etwas unscharf, hoffe man kann es trotzdem erkennen. Die Tabellenwerte rechts sind (der Reihe nach) : "P. nicht mehr ansprechbar", "P. schläft", "Atmung des P. setzt aus" und "P. spürt keine Hautschnitte". Hoffe, das hilft etwas. Vielen Dank und MfG Edit (mY+): Ein Bild von 2 identischen Grafiken entfernt. |
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| 19.01.2010, 01:37 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Rekursion kann - etwas verändert - differentiell so angesetzt werden: Auf der linken Seite steht ein Differenzenquotient, welcher eine mittlere Änderungsrate im Zeitraum t = 1 darstellt. Wir sehen, dass diese Änderungsrate (--> Wachstumsgeschwindigkeit) proportional (mit dem Faktor k) zum Sättigungsmanko S - B(t) (d. i. die Differenz des Momentanwertes zum Sättigungswert) ist. Aber erst die Untersuchung des Zusammenhanges von kontinuierlichen Änderungsraten führt zu einer Beziehung, in welcher die Momentanwerte des Bestandes in Abhängigkeit von einem bestimmten Zeitpunkt ihren Ausdruck finden. Das ist eine bestimmte exakte Wachstumsfunktion, welche die oben beschriebene Eigenschaft - die Änderungsgeschwindigkeit des Momentanbestandes ist proportional zum Sättigungsmanko - besitzt. Daher ist, um daraus die relevante Funktion zu ermitteln, auf die Differentialschreibweise überzugehen: Das ist eine relativ einfache Differentialgleichung, die durch Separation der Variabeln zu lösen ist. [ In der Folge - bitte versuche das mal selbst! - -> k freistellen, Integration, Logarithmengleichung lösen, Integrationskonstante war C, , ..., ] --> Es ergibt sich Das ist die Funktionsgleichung des begrenzten Wachstums, mit der oberen Schranke S, welche einen Grenzwert für darstellt. Deren Graph entspricht jenen in deinem angehängten Bild. B(0) und andere Datenpunkte wirst du nun mittels der Gleichung leicht ermitteln bzw. aus den gegebenen Messwerten die Konstanten S, a und k berechnen können. mY+ |
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| 24.01.2010, 16:17 | Webbl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, vielen Dank für die Antwort. Ich denke, das hilft mir schon sehr viel weiter. Werde es mit deiner Hilfestellung probieren und mich melden, falls noch irgendetwas unklar ist. Danke und MfG |
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