Stetigkeit mit Abschätzung zeigen

10.01.2010, 19:22

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Stetigkeit mit Abschätzung zeigen

Ich habe zwei Funktionen in meinem Klausurenkatalog für AnaII gefunden, in denen die Stetigkeit jeweils mit Hilfe einer Abschätzung gezeigt wird. Das die Abschätzungen so stimmen sehe ich, aber nicht den Übergang zur Stetigkeit an der jeweiligen Stelle.

Gefragt ist ob f(x,y) an der Stelle (0,0) stetig ist.

Funktion 1:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^2 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{cases} x \cdot arctan \frac{1}{x^2+y^2} & (x,y)\neq (0,0)\\ 0 & (x,y)= (0,0) \end{cases} \end{eqnarray*}$

Begründung:

f ist stetig in (0,0), da:

$\begin{eqnarray*} |x \cdot arctan \frac{1}{x^2+y^2}|\leq |x| \cdot \frac{\pi}{2} \Rightarrow \lim_{(x,y) \to (0,0)} ( x \cdot arctan \frac{1}{x^2+y^2})=0=f(0,0) \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten Funktion ist die Argumentation genau gleich. Ich verstehe nicht wieso aus der Abschätzung die Stetigkeit folgt. Kann mir das jemand erklären?

10.01.2010, 19:33

Mazze

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Es gibt mehrere verschiedene äquivalente Formulierungen für Stetigkeit. Eine ist :

$\begin{eqnarray*} f : M \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ ist stetig wenn für alle konvergenten Folgen $\begin{eqnarray*} a_n \subset M \end{eqnarray*}$ die gegen ein $\begin{eqnarray*} a \in M \end{eqnarray*}$ konvergieren mögen, gilt :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}f(a_n) = f(a) \end{eqnarray*}$

Für dein Beispiel : Für jede Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ die gegen $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ konvergiert gilt :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}f(a_n) = f(0,0) \end{eqnarray*}$

Daher ist f stetig in (0,0).

11.01.2010, 10:36

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Genau, die Stetigkeit über Folgen zu zeigen ist mir durchaus geläufig und bekannt. Aber wieso folgt aus der Abschätzung das $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} ( x \cdot arctan \frac{1}{x^2+y^2})=0=f(0,0) \end{eqnarray*}$ ?

11.01.2010, 11:16

Mazze

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Wenn $\begin{eqnarray*} |a_n| \leq b_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \to 0 \end{eqnarray*}$ dann auch $\begin{eqnarray*} a_n \to 0 \end{eqnarray*}$ .

11.01.2010, 12:29

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Auch das macht Sinn :-)

Vielleicht hat mich die Abschätzung zu sehr verwirrt. Ich gucke mal ob ich es richtig verstanden habe:

$\begin{eqnarray*} |x| \cdot \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ geht für x gegen Null gegen Null. Da
$\begin{eqnarray*} |x \cdot arctan \frac{1}{x^2+y^2}|\leq |x| \cdot \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ gilt muss auch die linke Seite gegen Null gehen für (x,y) gegen (0,0).

D.h. sonst habe ich mir meistens Folgen konstruiert (1/n etc.) um damit die Unstetigkeit zu zeigen. Hier geht das nicht weil es für alle Nullfolgen gelte müsste. Also schätze ich die Funktion ab (bzw. die Folge) und vergleiche Sie mit einer Folge. Da diese gegen Null geht geht auch die Funktion gegen Null für (x,y) gegen (0,0) und die Funktion ist stetig in Null (und sonst auch da es eine Komposition stetiger Funktionen ist).

11.01.2010, 14:10

Mazze

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Zitat:

und vergleiche Sie mit einer Folge

Hier wird nicht mit einer Folge verglichen sondern mit allen. Aus

$\begin{eqnarray*} \left|x \cdot arctan \frac{1}{x^2+y^2}\right|\leq |x| \cdot \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

folgt, dass für alle Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n,y_n) \to (0,0) \end{eqnarray*}$ gilt :

$\begin{eqnarray*} \left|x_n \cdot arctan \frac{1}{x_n^2+y_n^2}\right| \leq |x_n| \frac{\pi}{2} \to 0 \text{ für } n \to \infty \text{ da } (x_n,y_n) \text{ gegen } 0 \text{ geht } \end{eqnarray*}$

Man muss sich eigentlich nur die formale Definition eines Grenzwertes bezüglich Funktionen hinschreiben:

Der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a}f(x) \end{eqnarray*}$ existiert, wenn für alle konvergenten Folgen $\begin{eqnarray*} x_n \to a \end{eqnarray*}$ die Grenzwerte $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}f(x_n) \end{eqnarray*}$ existieren und gleich sind. Wenn man also

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} ( x \cdot arctan \frac{1}{x^2+y^2}) \end{eqnarray*}$

hinschreibt, wird schon implizit über alle konvergenten Folgen gegen (0,0) gesprochen.

11.01.2010, 14:25

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Ja, so wie ich das" mit einer Folge "geschrieben habe ist es so nicht korrekt. Ich glaube aber dass ich es richtig verstanden habe. Deswegen schrieb ich ja weiter unten noch dass man es für alle Nullfolgen zeigen muss. Für alle Nullfolgen geht $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} ( x \cdot arctan \frac{1}{x^2+y^2}) \end{eqnarray*}$ gegen Null weil $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} ( |x| \frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ für alle Nullfolgen gegen Null geht und $\begin{eqnarray*} \left|x \cdot arctan \frac{1}{x^2+y^2}\right|\leq |x| \cdot \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ gilt.

So richtig?

11.01.2010, 14:27

Mazze

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Im Prinzip ja. Entweder Du schreibst

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} ( x \cdot arctan \frac{1}{x^2+y^2}) = 0 \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} ( |x| \frac{\pi}{2}) = 0 \end{eqnarray*}$ (hierbei wird implizit über alle Folgen gesprochen). Oder Du schreibst es so wie ich

$\begin{eqnarray*} \left|x_n \cdot arctan \frac{1}{x_n^2+y_n^2}\right| \leq |x_n| \frac{\pi}{2} \to 0 \text{ für } n \to \infty \text{ da } (x_n,y_n) \text{ gegen } 0 \text{ geht } \end{eqnarray*}$

Macht im Endeffekt aber keinen Unterschied.

11.01.2010, 14:43

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Ok, vielen Dank. Die richtige Notation kriege ich schon hin. Ich war nur verwirrt über die Abschätzungen und hatte nicht erkannt dass auch hier die mir bekannte Definition der Stetigkeit über Folgen angewandt wird.

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