Parametrisierung einer Ellipse

10.01.2010, 19:37

Hilfebedürftiger

Parametrisierung einer Ellipse

Ich möchte eine Ellipse $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{2}+ \frac{y^2}{4}= 1 \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von Polarkoordinaten parametrisieren.

Bisher kam ich mit den meisten Körpern ganz gut klar beim Parametrisieren. Bei der Ellipse komme ich aber mit dem Radius nicht so ganz klar.

Beim Kreis hätte ich x=r*cos(Winkel) und y=r*sin(Winkel), aber der Radius einer Ellipse ist ja nicht konstant. Ich habe probiert mir über das angehängte Bild den Sachverhalt klar zu machen, aber ich komme nicht auf den Trichter. Ich neige immer dazu zu sagen dass x=r*cos(Winkel) und y=r*sin(Winkel), aber das kann ja nicht sein. Vermutlich spielen die Halbachsen eine Rolle, welche kann ich mir aber bisher nicht erklären. Kann man sich eine Ellipse als einen aus zwei unterschiedlichen Kreisen zusammengesetzten Körper vorstellen?

10.01.2010, 20:03

saz

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Ich würde es mit der Parametrisierung

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot \cos \varphi \\ b \cdot \sin \varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

versuchen, wobei a,b die Halbachsen sind. Sollte eigentlich funktionieren...

11.01.2010, 10:34

Hilfebedürftiger

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Jopp, habe ich auch bei Wikipedia gefunden. Ganz nachvollziehen kann ich es aber nicht. Kann mir das jemand erklären? Beim Kreis, Kegel, Zylinder o.ä. sehe ich den Zusammenhang zwischen den kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten, hier steige ich aber nicht wirklich durch.

11.01.2010, 11:38

Ehos

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Deine Transformation ist ok. Setze dies in die Ellipsengleichung ein und vereinfache alles durch Einführung folgender Variablen, womit insbesondere die Halbachse a eliminiert werden muss

Abstand vom Ursprung: $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{a^2\cos^2{\phi}+a^2\sin^2{\phi}} \end{eqnarray*}$

Exzentrität: $\begin{eqnarray*} \epsilon=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \end{eqnarray*}$

Beachte, dass oft zwei verschiedene Exzentiziäten $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und e verwendet werden. Am Ende muss folgendes herauskommen

$\begin{eqnarray*} r=\frac{b}{\sqrt{1-\epsilon ^2 \cos^2(\phi)}} \end{eqnarray*}$

Alles, was ich hier geschrieben habe, findest Du ausführlich bei WIKIPEDIA unter "Ellipse"

11.01.2010, 14:55

Hilfebedürftiger

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot \cos \varphi \\ b \cdot \sin \varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ stellt ja schon das Ende der Aufgabe dar.

Nur kann ich (noch) nicht nachvollziehen warum x=a*cos(phi) und y=b*sin(phi) gilt.

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{a^2\cos^2{\phi}+a^2\sin^2{\phi}} \end{eqnarray*}$ setzt ja schon voraus, das ich weiß dass x=a*cos(phi) und y=b*sin(phi) ist ? Nur genau das sehe ich im Moment noch nicht!

11.01.2010, 15:07

wisili

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RE: Parametrisierung einer Ellipse
@Hilfebedürftiger
Ich vermute, dass dein ungutes Gefühl bei der Lösung von saz daher kommt, dass der dort verwendete Winkel phi nicht derselbe ist wie in deiner Zeichnung!
Die Formeln von saz kann man sich so zurechtlegen: Man geht vom Einheitskreis aus und verwendet den Polarwinkel phi.
Der zugeordnete Punkt auf dem Kreis ist dann (cos phi, sin phi). Und nun verzerrt man den Kreis: Alle x-Koordinaten werden mit a multipliziert.
Und man verzerrt ihn nochmal: Alle y-Koordinaten werden mit b multipliziert.
(Der Winkel phi wird dabei mitverzerrt!) (Die Verzerrung heisst fachsprachlich Normalaffinität.)

12.01.2010, 17:14

Hilfebedürftiger

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} \cdot \cos \varphi \\ 2 \cdot \sin \varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \varphi \in [0,2 \pi] \end{eqnarray*}$

Ist das Ziel. Ich kriege aber einfach nicht die Parametrisierung selbst hin. Bei allen anderen Körpern kann ich vom Start zum Ziel selbst parametrisieren und sehe den Zusammenhang zu den Koordinaten verwirrt

12.01.2010, 17:18

wisili

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Zitat:

Original von Hilfebedürftiger
Nur genau das sehe ich im Moment noch nicht!

Hat dir meine geometrische Deutung nicht geholfen?
(Wenn dir das als Trick vorkommt, den du nicht selber gefunden hättest:
Mach dir nichts draus; das ist das normalste der Welt. Die Suggestion, man könne alles selber finden,
ist Betrug.)

12.01.2010, 18:24

Leopold

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wisilis Hinweis einmal ausgeführt:

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{2} \, \xi \, , \ \ y = 2 \eta \end{eqnarray*}$

Das ist eine naheliegende Variablentransformation. Und mit ihr folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{4} = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \xi^2 + \eta^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Jede Parametrisierung des Kreises in den Koordinaten $\begin{eqnarray*} (\xi,\eta) \end{eqnarray*}$ übersetzt sich sofort in eine Parametrisierung der Ellipse in den Koordinaten $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ . Zum Beispiel der Klassiker:

$\begin{eqnarray*} \xi = \cos \varphi \, , \ \ \eta = \sin \varphi \, ; \ \ 0 \leq \varphi \leq 2 \pi \end{eqnarray*}$

Oder auch ganz anders:

$\begin{eqnarray*} \xi = \frac{1-t^2}{1+t^2} \, , \ \ \eta = \frac{2t}{1+t^2} \, ; \ \ - \infty < t < \infty \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten Parametrisierung wird allerdings der Punkt $\begin{eqnarray*} (-1,0) \end{eqnarray*}$ ausgelassen. Er wird erst im Grenzübergang $\begin{eqnarray*} t \to \pm \infty \end{eqnarray*}$ erreicht.

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