Monotonie, Beschränktheit

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Maik. Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonie, Beschränktheit
Hallo,
ich wollte gerade diese Aufgabe rechnen:
Man formuliere mittels der Skizzen von und Monotonie-,Beschränktheits-, und damit Konvergenz aussagen für die Zahlenfolge und berechne - im Falle der Existenz - , falls und die Iterationsvorschrift gegeben sind in den Fällen:




Ich weis leider überhaupt nicht, was da verlangt wird. Kann mir das bitte einer erklären?
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, auf jeden Fall sollst du wohl zeigen, ob die von dir definierte Folge beschränkt und/oder monoton (und damit möglicherweise konvergent) ist.

Wenn dir das etwas hilft: Diese Vorschrift benutzt man, um die Wurzel von a auszurechnen. Die Folge ist also monoton und beschränkt und konvergiert gerade gegen die Wurzel von a.
Maik. Auf diesen Beitrag antworten »

Geht es nun eig um eine Funktion, oder um eine Folge. Wie Zeige ich denn am besten die Beschränktheit. Monotonie sollte ja bei Folgen so gehen:

saz Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte, dass es um die Folge geht. Für die Beschränktheit kannst du einfach



betrachten und das ein bisschen umformen (also Definition von einsetzen, ausklammern, gucken was sich machen lässt).

Die Monotonie kannst du auch mit



beweisen, musst du mal schauen, was besser geht.
Maik. Auf diesen Beitrag antworten »

naja ich finde die Aufgabenstellung sehr verwirrend. Zumal ja auch von f(x) die rede ist.

Woher stammen die von dir genannten Formeln?
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Formeln? Hab doch gar keine genannt. Du hast doch selbst geschrieben, dass durch



eine Folge definiert wird. Und diese möchtest du auf Monotonie und Beschränktheit untersuchen. (Ist bei dir eigentlich wirklich vorausgesetzt oder sogar ? Im zweiten Fall lässt es sich nämlich (glaube ich jedenfalls) wesentlich leichter beweisen.)

Edit: Doch nicht leichter, sollte eigentlich egal sein.

Versuch doch einfach mal



so umzuformen, sodass am Ende steht, dass der Term ist.
 
 
Maik. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte Speziell diese:

saz Auf diesen Beitrag antworten »

Achso. Naja, wenn du zeigen kannst, dass



dann folgt daraus, dass



ist, dann hast du also eine untere Schranke für .
Maik. Auf diesen Beitrag antworten »

Und woher weis ich, das das Minimum bei Wurzel a liegt? In der Lösung steht: A=0.5*(A+(a/A))
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, dann stell das mal um.

Maik. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist schon klar. Nur woher kommt dieser Ansatz?
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Mh okay. Kennst du Fixpunkte? Anstatt es wie oben als Konvergenz zu formulieren, kannst du dich auch fragen, welche erfüllen die Gleichung



Dies ist nämlich genau dann der Fall, wenn . x ist dann ein Fixpunkt von f(x). In dem Fall kannst du dann also einfach erstmal formal hinschreiben



und das nach x auflösen. Was anderes steht ja da oben auch nicht.

Das man darüber die Beschränktheit zeigen will, finde ich zwar etwas komisch, aber nun gut.
Maik G. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja also mit dem Fixpunkt ist klar. Aber man weis ja nicht, das an dem Fixpunkt genau das Minimum liegt. Wie zeigt man denn sonst Beschränktheit? Eigentlich eine Schranke wählen und die Ungleichung aufstellen. Aber da braucht man ja auch erst mal einen geeigneten Kandidaten.
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar, den geeigneten Kandidtaten brauchst du immer. Manchmal ist er eben offensichtlich, manchmal weniger offensichtlich. Mir würde jedenfalls gerade auch nichts einfallen, wie man sehen kann, dass dies eben gerade eine Schranke ist.

Btw hatte ich mich bei den Formeln da oben immer verschrieben, man muss natürlich zeigen, dass



Aber hast du ja sicher schon gemerkt.
Maik G. Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man nicht auch einfach zeigen, das gilt:



das zeigt das ja auch, kann ich das noch weiter vereinfachen? Oder reicht das als Beweis?
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist bei dir jetzt x? Ansonsten hast du damit nur gezeigt, dass 0 eine untere Schranke ist, aber du hast nicht gezeigt, dass es auch eine obere Schranke gibt (es also tatsächlich beschränkt ist).
Maik G. Auf diesen Beitrag antworten »

Also x ist ganz normal das x aus der Folge im ersten Post. Ich müsste ja quasi nur das gleiche nochmal für eine obere Schranke machen:

saz Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist, wenn ich dir als Anfangswert etwas größeres vorgebe? Meinetwegen



dann funktioniert das nicht. Aber du kannst es anders machen: Du kannst zeigen, dass für deine Folge monoton fallend ist. Hieraus folgt nämlich, dass eine obere Schranke ist. (Die Fallunterscheidung musst du hier machen, weil bei dir gelten kann, dann aber ist.)
Maik G. Auf diesen Beitrag antworten »

gut da hast du natürlich Recht. also Nachweis für Monotonie habe ich jetzt so gemacht:

, was ja steigend bedeutet. Da komme ich auf:

Steigend für

Aber wieso kommt man da nicht auf das ?
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso soll denn gelten? Das würde doch gerade heißen, dass die Folge nicht konvergiert! Wenn dann musst du schon zeigen, dass



Ich würde dir vorschlagen, es wie folgt zu machen: Zeige zuerst, dass



Das ist auch wirklich nicht schwer. Wenn du das hast, kannst du dann auch leicht die Monotonie beweisen.


Irgendwie hab' ich auch immernoch das Gefühl, dass du mit dem x und dem durcheinander kommst. Wenn du deine Folge nennst, dann gibt es kein x mehr.
Maik G. Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry hatte mich vertippt ich meinte natürlich:


und da komme ich auf das von mir geschriebene Ergebnis. Mit dem x hast du natürlich recht.
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe trotzdem nicht, wie du da auf die Wurzel kommst. Ich rechne es dir jetzt einfach mal ein Stück vor:



Wenn du nun noch zeigst, dass für , hast du damit bewiesen, dass

.
Maik G. Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ich glaube jetzt habe ich die Problematik verstanden. Ich hatte gerechnet:



Dabei ist ja
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das meinte ich ja damit, dass du mit x und der Folge durcheinander kommst. Wenn du einmal



definiert hast, dann gibt es einfach kein x mehr. Das x wurde ja oben nur verwendet, um (allgemein) erstmal f(x) zu definieren.
Maik G. Auf diesen Beitrag antworten »

Was sagt eig in dem Falle jetzt dieser Ausdruck:

saz Auf diesen Beitrag antworten »

So wie du es zur Zeit meistens gebrauchst, wäre es



also eben der Grenzwert der definierten Folge (s. letzter Beitrag von mir). Und den sollst du ja wohl berechnen...
Maik G. Auf diesen Beitrag antworten »

Gut der Grenzwert müsste ja gegen Wurzel a gehen. Nur wie ich das jetzt am besten Zeige weis ich nicht. Zur Monotonie habe ich jetzt steigend für
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Waren wir uns nicht gerade einig geworden, dass es kein x mehr gibt...?

Zeige doch erstmal, dass beschränkt und monoton ist, dann weißt du nämlich zunächst einmal, dass die Folge überhaupt konvergiert. Erst danach brauchst du dir Gedanken zu machen, wie du jetzt zeigst, dass Wurzel a gerade der Grenzwert ist.
Maik G. Auf diesen Beitrag antworten »

Also Monotonie:
Steigend für





Aber für ist die Folge steigend. Also habe ich noch irgendwo einen Fehler.

Für die Beschränkteheit müsste man ja eine Fallunterscheidung machen einmal für und für
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Moment, moment. Jetzt nochmal ganz langsam.

Meiner Meinung nach solltest du 2 Fälle unterscheiden:

1.Fall: Der dir gegebene Startwert ist kleiner als Wurzel a. Dann überleg mal, was dann passiert - oder probier's mit einem Beispiel aus. Wähle z.B. a=2, und rechne mal aus. Dann merkst du, dass bereits größer als Wurzel a ist. Und alle darauffolgenden Folgeglieder werden dies ebenfalls sein.
Deshalb würde ich dir raten (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) deine Folge erst ab (also dem "zweiten" Folgeglied) zu betrachten und das ganze auf den zweiten Fall, den ich hier gleich nenne zurückzuführen.

2. Fall: Der Startwert ist größer als Wurzel a. Hier kannst du zeigen, dass



was äquivalent dazu ist, dass Wurzel a eine untere Schranke ist. Wenn du dies gezeigt hast, weißt du, dass



also dann

woraus folgt, dass deine Folge streng monoton fallend ist.
Maik G. Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dann nähert sichdie folge doch einfach von oben an, oder?
a=2 x0=1







.
.
.
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Mh ja. Was ich dir damit nur zeigen wollte: Im Allgemeinen gilt, dass . Wenn dann ist nur der Startwert kleiner als Wurzel a. Also ist deine Folge monoton fallend, nicht steigend.
Maik G. Auf diesen Beitrag antworten »

So ich habe jetzt mal das Versucht:



Reicht das als Nachweis zu?
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, was sollte denn daran ein Nachweis sein? Du kannst doch nicht von dem ausgehen, was du beweisen willst. Mach es doch einfach so, wie ich es dir schon 5 mal geraten habe:
Schreib als Ansatz



und forme das solange um, bis am Ende steht, dass dieser Term größer gleich Null ist. Als ersten Schritt kannst du hierbei die Definition von verwenden und dann ausklammern und wieder zusammenfassen.
Maik G. Auf diesen Beitrag antworten »

Na du hast doch gesagt ich solle das so probieren:

Das ist doch letztendlich das gleiche, was ich gemacht habe. Oder? Und der Term der jetzt bei mir steht ist auch größer als 0.
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bist du denn auf das gekommen, was du da oben geschrieben hast? (Also auf die zweite Zeile)
Maik G. Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich hab mich vertan:





Daran sehe ich das ja jetzt leider nicht mehr, dass das größer als 0 ist.
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Schon deine erste Zeile ist falsch. Du darfst nicht von deiner Behauptung ausgehen. Hattet ihr mal Aussagenlogik? Man kann aus einer falschen Voraussetzung alles mögliche (auch falsches) schlussfolgern.

Beispiel: Aus -2>0 folgt 0>2. Deine Annahme ist falsch, in dem Fall auch die Schlussfolgerung. Du könntest aber aus -2 > 0 auch schlussfolgern, dass 4 > 0 - was eine richtige Schlussfolgerung ist, aber aus einer falschen Annahme geschlussfolgert.

Ansonsten war ja der Anfang (mal abgesehen davon, dass du es eben falsch aufgeschrieben hast) nicht falsch. Also:



Jetzt guck dir einfach mal den Klammerausdruck an und denk an die binomische Formel......
Maik G. Auf diesen Beitrag antworten »

Also das müsste dann sein:



und das ist Größe als 0. Aber was habe ich den Falsch aufgeschrieben? Außer das Relationalen ist ja alles gleich. Und du bist ja auch davon ausgegangen, dass es größer gleich 0 seien muss.
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nicht davon ausgegangen. Ich weiß einfach, dass es so ist (weil ich es schon mal bewiesen habe (ohne davon auszugehen)).

Wenn du den Ansatz



schreibst und das solange umformst/abschätzt, bis am Ende steht, dass es größer gleich Null ist, dann ist es auf jeden Fall korrekt.

Wenn du (wie du es oben getan hast) schreibst



dann musst du eben stark aufpassen, dass du nur äquivalente Umformungen benutzt - sobald man Implikationen verwendet, kann es nämlich falsch werden. Wenn dir das klar ist und du es entsprechend kenntlich machst, kannst du es natürlich auch so machen, wie du es oben getan hast.

Wie auch immer - die Beschränkheit hast du nun jedenfalls erfolgreich gezeigt.
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