Schwierige Integrale

10.01.2010, 21:23

StefanX

Schwierige Integrale

Hallo Leute!

Ich hab hier 5 Integrale, von denen hab ich schon 2 erfolgreich gelöst.
Wir haben bisher Partialbruchzerlegnung, Integration durch Substitution sowie partielle Integration gemacht und ich habe diese Ansätze schon ausprobiert, kommt aber auf keinen grünen Zweig, vllt könnt ihr mir ein Stichwort oder einen Ansatz geben smile

a) $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! cos x / (5+sin^2 x) \, dx \end{eqnarray*}$
mit a= -pi und b=pi

b) $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! x^2/ \sqrt{1-x^6} \, dx \end{eqnarray*}$
ohne grenzen, d.h. es wird einzig die Stammfunktion gesucht.

c) $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \sqrt{1+ (sinh x)^2} \, dx \end{eqnarray*}$
mit a=-1 und b= 1

Danke für eure Hilfe =) Wink

10.01.2010, 21:26

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a) Substitution $\begin{eqnarray*} u=\sin(x) \end{eqnarray*}$

b) Substitution $\begin{eqnarray*} v=x^3 \end{eqnarray*}$

c) Additionstheorem $\begin{eqnarray*} \cosh^2(x) = 1 + \sinh^2(x) \end{eqnarray*}$

11.01.2010, 16:25

StefanX

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danke schonmal für den tipp, aber der funken ist bei mir noch nicht ganz übergsprungen.

bei a) hab ich dann jetzt da stehen:

ln | sin(x) | als stammfunktion, aber ich hab doch garnicht resubsituiert. und wenn ich die grenzen einsetze also -pi und pi gehts auch nicht, weil der sin (-pi)=0 und ln 0 ist nicht definiert??

bei b)
weiß ich ebenfalls nicht weiter: habe v=x^3 gemacht, dann steht da ja im im nenner wurzel(1- v^2). ja und wa sist mit dem zähler, der muss doch auch zu "v" werden, aber wie kann denn x^2 bei v=x^3 subsituiert werden??

bei c) steht da jetzt das integral von wurzel(cosh² x). und wie geht es da weiter? selbst wenn ich da cosh² x zu cosh x substituiere, komm ich nicht weiter?!?

Bitte helft mir auf die Sprünge Augenzwinkern

11.01.2010, 16:29

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Zitat:

Original von StefanX
bei a) hab ich dann jetzt da stehen:

ln | sin(x) | als stammfunktion

Das ist falsch. Wie lautet denn erstmal das Integral unmittelbar nach der Substitution?

Zitat:

Original von StefanX
bei b) [...]
aber wie kann denn x^2 bei v=x^3 subsituiert werden??

$\begin{eqnarray*} v = x^3 \end{eqnarray*}$ bedeutet $\begin{eqnarray*} \dd v = 3x^2 ~ \dd x \end{eqnarray*}$ - noch Fragen?

Was $\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{\dd v}{\sqrt{1-v^2}} \end{eqnarray*}$ betrifft, das solltest du in der Liste der Grundintegrale finden!

Zitat:

Original von StefanX
bei c) steht da jetzt das integral von wurzel(cosh² x). und wie geht es da weiter?

Ja, wie geht's weiter? Schon mal davon gehört, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2}=a \end{eqnarray*}$ für alle positiven reellen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gilt?

11.01.2010, 17:53

StefanX

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a)
hab also g(x)=5 sin^2 x
und g'(x) =cos x
und f(g(x))= 1/g

dann integreiere ich über die funktion 1/g.
und dann werden die integrationsgrenzen ja beide zu 5, das heißt das inetragl ist null, das kann doch nicht sein! was mach ich denn falsch? das ürinzip ist doch: man will die ableitung also cos x im integral stehen haben und dazu eine stammfunktion haben also sin x + 5 (in diesem fall). aber das dumme quadrat da ^^

b)
mir war bisher immer klar, dass wenn jetz unten x^3 stehen würde, man eine 3 oben rein zeiuht und 1/3 vor das integral packt, damit das pobere halt die ableitung des unteren ist und mann dann integrieren konnte. versteh nicht wie man da mittels substitution aus x^6 dann x^2 macht und wo ich dann die funktion f(g(x)) und g(x) und g'(x) hab. bei mir ist g(x) =1-x^6 und integreieren würde ich ja dann über die funktion 1/wurzel(g).

c)
Alles klar, hab ich raus: 2,35, kommt auch gut hin Augenzwinkern

Danke =)

11.01.2010, 22:33

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Zitat:

Original von StefanX
a)
hab also g(x)=5 sin^2 x
und g'(x) =cos x

Also für $\begin{eqnarray*} g(x)=5 \sin^2(x) \end{eqnarray*}$ bekommt man keinesfalls die Ableitung $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} g'(x)=10 \sin(x)\cos(x) \end{eqnarray*}$ . Hat ja auch nicht sehr viel mit der Substitution zu tun, die ich oben empfohlen habe. Selbstverständlich bist du nicht verpflichtet, diese Empfehlung anzunehmen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von StefanX
b)
mir war bisher immer klar, dass wenn jetz unten x^3 stehen würde, man eine 3 oben rein zeiuht und 1/3 vor das integral packt, damit das pobere halt die ableitung des unteren ist und mann dann integrieren konnte. versteh nicht wie man da mittels substitution aus x^6 dann x^2 macht und wo ich dann die funktion f(g(x)) und g(x) und g'(x) hab. bei mir ist g(x) =1-x^6 und integreieren würde ich ja dann über die funktion 1/wurzel(g).

Ich habe keine Ahnung, was du da rumphilosophierst. Ich dachte, ich hätte mit dem $\begin{eqnarray*} \dd v = 3x^2 ~ \dd x \end{eqnarray*}$ im letzten Beitrag klargemacht, was Sache ist:

$\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}} ~ \dd x = \frac{1}{3} ~ \int ~ \frac{3x^2 ~ \dd x}{\sqrt{1-x^6}} = \frac{1}{3} ~ \int ~ \frac{\dd v}{\sqrt{1-v^2}} \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Oder liegen deine Probleme allen Ernstes im Bereich simpler Anwendung der Potenzgesetze, wie etwa

$\begin{eqnarray*} x^6 = x^{3\cdot 2} = (x^3)^2 = v^2 \end{eqnarray*}$ ?

Wer soll das denn ahnen! unglücklich

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